“Faktör Analizinin Temel Teoremi” PCA için nasıl uygulanır veya PCA yüklemeleri nasıl tanımlanır?

Şu anda "faktör analizi" (anlayabildiğim kadarıyla PCA) için bir slayt seti geçiyorum.

İçinde, analize giren verilerin korelasyon matrisinin ( ) faktör yükleri matrisi ( ) kullanılarak geri kazanılabileceğini iddia eden "faktör analizi temel teoremi" elde edilir : $\bf R$ $\bf A$

R = A A^{⊤}

$\bf R = AA^\top$

Ancak bu beni karıştırıyor. PCA'da "faktör yükleri" matrisi, verilerin kovaryans / korelasyon matrisinin özvektörleri matrisi tarafından verilir (verilerin standartlaştırıldığını varsaydığımızdan, aynı olduklarını varsaydığımız için), her bir özvektör, uzunluk bir. Bu matris diktir, bu nedenle genel olarak eşit değildir . $\bf AA^\top = I$ $\bf R$

— user2249626
kaynak

@ Amoeba'nın cevabına ek olarak, cevabımda terminolojik belirsizliği ekleyerek bakın. AAçıklık nedeniyle, özvektörler matrisini (yüklemeler olan) çağırmanızı önermiyorum . (Sağ taraf) özvektör matrisi genellikle etiketlenir V(çünkü R=USV'svd tarafından değil) A. Özvektörler için başka bir eşdeğer isim (biplot terminolojisinden gelir) "standart koordinatlar" ve yüklemeler için "ana koordinatlar" dır.

— ttnphns

("standart koordinatlar" - çünkü öz değerlerin atalet veya ölçeği, onları

— bağışlarken

Bu, terminolojik belirsizlik ve karışıklıktan kaynaklanan makul bir sorudur (+1).

PCA bağlamında, insanlar genellikle ana eksenleri (kovaryans / korelasyon matrisinin özvektörleri) "yüklemeler" olarak adlandırırlar. Bu özensiz bir terminolojidir. PCA'da "yükler" olarak adlandırılması gereken şey, ilgili özdeğerlerin kare kökleri ile ölçeklendirilmiş ana eksenlerdir. Sonra bahsettiğiniz teorem tutacak.

Gerçekten de, korelasyon matrisinin öz ayrışması burada özvektörlerdir (temel eksenler) ve özdeğerlerin çapraz bir matrisidir ve yüklemeleri olarak tanımlarsak , kolayca görebilirsinizAyrıca, en iyi rank- korelasyon matrisine yaklaşım, ilk olarak verilir PCA yükleri:

R = V S V^{⊤}

$\mathbf R = \mathbf V \mathbf S \mathbf V^\top$

V

$\mathbf V$

S

$\mathbf S$

bir = V S^{1 / 2},

$\mathbf A = \mathbf V \mathbf S^{1/2},$

R, = bir {bir}^{⊤} .

$\mathbf R = \mathbf A \mathbf A^\top.$

r

$r$

r

$r$

R, \approx {bir}_{r} {bir}_{r}^{⊤} .

$\mathbf R \approx \mathbf A_r \mathbf A_r^\top.$

Faktör analizi ve PCA yüklemeleri ile kovaryans matrislerinin yeniden yapılandırılması hakkında daha fazla bilgi için lütfen cevabım bakın .

— amo diyor Reinstate Monica
kaynak