Genellikle olasılık teorisi, Kolgomorov'un aksiyomlarıyla öğretilir. Bayesanlar da Kolmogorov'un aksiyomlarını kabul ediyor mu?

Benim düşünceme göre, Cox-Jaynes olasılığın yorumlanması Bayesian olasılığı için sıkı bir temel sağlar:

• Cox, Richard T. "Olasılık, sıklık ve makul beklenti." Amerikan fizik dergisi 14.1 (1946): 1-13.
• Jaynes, Edwin T. Olasılık teorisi: bilimin mantığı. Cambridge üniversitesi basını, 2003.
• Beck, James L. "Olasılık mantığına dayalı Bayesian sistem tanımı." Yapısal Kontrol ve Sağlık Takibi 17.7 (2010): 825-847.

Cox tarafından türetilmiş olasılık mantığının aksiyomları:

1. (P1): (konvansiyonel olarak)$\Pr[b|a]\ge0$
2. (P2): $\Pr[\overline{b}|a]=1-\Pr[b|a]$ (olumsuzlama işlevi)
3. (P3): (birleşim işlevi)$\Pr[b\cap c|a]=\Pr[c|b\cap a]\Pr[b|a]$

Axioms P1-P3 aşağıdakileri ifade eder (Beck, James L. "Olasılık mantığına dayalı Bayesian sistem tanımı." Yapısal Kontrol ve Sağlık Takibi 17.7 (2010): 825-847):

4. (P4): a) ; b) ; c)$\Pr[b|b\cap c] = 1$$\Pr[\overline{b}|b\cap c] = 0$$\Pr[b|c]\in[0,1]$
5. (P5): a) , b) , vasıtaların içerdiği ve bu araçlar eşdeğerdir .$\Pr[a|c \cap (a \Rightarrow b)]\le\Pr[b|c\cap(a \Rightarrow b)]$$\Pr[a|c\cap(a \Leftrightarrow b)] = \Pr[b|c\cap(a \Leftrightarrow b)]$$a \Rightarrow b$$a$$c$$a \Leftrightarrow b$$a$$b$
6. (P6):$\Pr[a \cup b|c] = \Pr[a|c]+\Pr[b|c]-\Pr[a\cap b|c]$
7. (P7): önermesinin, önerilerinden yalnızca birinin birinin doğru olduğunu , o zaman: $c$$b_1,\ldots,b_N$
   • a) Marjinalleştirme Teoremi:$\Pr[a|c]=\sum_{n=1}^N P[a \cap b_n|c]$
   • b) Toplam Olasılık Teoremi:$\Pr[a|c] = \sum_{n=1}^N \Pr[a|b_n\cap c]\Pr[b_n|c]$
   • c) Bayes 'Teoremi: :$k=1,\ldots,N$$\Pr[b_k|a\cap c] = \frac{\Pr[a|b_k\cap c]\Pr[b_k|c]}{\sum_{n=1}^N \Pr[a|b_n\cap c]\Pr[b_n|c]}$

Kolmogorov'un özel bir durum olarak görülebilecek bir mantık ifadesi olduğunu ima ediyorlar.

Bir Bayesian bakış açısını yorumlamamda, her şey her zaman (dolaylı olarak) inancımıza ve bilgimize bağlıdır.

Aşağıdaki karşılaştırma Beck (2010) 'dan alınmıştır: Olasılık mantığına dayalı Bayesçi sistem tanımlaması

Bayesian bakış açısı

Olasılık, belirtilen bilgilere dayanarak bir ifadenin uygunluğunun bir ölçüsüdür.

1. Olasılık dağılımları , doğası gereği değil, sistemler ve olaylar hakkında akla yatkın bilgi durumlarını temsil eder .
2. Bir modelin olasılığı, bir kümedeki diğer modellere göre uygunluğunun bir ölçüsüdür .
3. Pragmatik, eksik bilgi nedeniyle belirsizliği, doğanın içsel rastlantısallığından kaynaklandığını iddia etmeden belirlemektedir.

Frequentist bakış açısı

Olasılık, uzun vadede doğal olarak rastgele bir olayın meydana gelme sıklığıdır .

1. Olasılık dağılımları, rastgele olayların doğal özellikleridir.
2. Sınırlı kapsam, örneğin bir modelin olasılığı için bir anlam yoktur.
3. İçsel rastgelelik olduğu varsayılır, ancak kanıtlanamaz.

Kolmogorov'un aksiyomları yukarıdaki aksiyomlardan nasıl çıkarılır?

Aşağıda, [Beck, James L. "Olasılık mantığına dayalı Bayesçi sistem kimliği" nin 2.2. Yapısal Kontrol ve Sağlık İzleme 17.7 (2010): 825-847.] Özetlenmiştir:

Aşağıda, bu kullanın: olasılık ölçüsü ile ilgili bir alt kümesi sonlu grubu arasında :$\Pr(A)$$A$$X$

1. [K1]:$\Pr(A)\ge 0, \forall A \subset X$
2. [K2]:$\Pr(X) = 1$
3. [K3]: ise ve ayrık bulunmaktadır.$\Pr(A\cup B)=\Pr(A)+\Pr(B), \forall A,B \subset X$$A$$B$

Propositon kişiye olasılık teorinin belitleri [Beck, 2010] den türetilen (K1-K3) amacıyla bildiren ve belirtir olasılık modeli . [Beck, 2010] ayrıca yı tanıtıyor .$\pi$$x\in X$$x$$\Pr(A) = \Pr[x\in A|\pi]$

• P1, K1 ile ve$b=\{x\in A\}$$c=\pi$
• K2, ; P4 (a) ve , bu olduğunu belirtir .$\Pr[x\in X|\pi]=1$$\pi$$x\in X$
• K3 P6 türetilebilir: ve , ayrık aracı olduğu ve birbirini dışlar. Bu nedenle, K3:$A$$B$$x\in A$$x\in B$ $\Pr(x\in A\cup B|\pi)=\Pr(x\in A|\pi)+\Pr(x\in B|\pi)$

Olasılık Teorisi'nin geliştirilmesinden sonra, ilham verdikleri titizlikle tanımlanmış konsepte kadar ölçülen “olasılık” adına cevap veren daha gevşek kavramların gösterilmesi gerekliydi. "Öznel" Bayesçi olasılıklar, bağımsız bir şekilde karşılaştırılabilirlik ve tutarlılık sınırlamalarına tabi olan inanç derecesinin bir miktarının ölçülmesinin (hiç kimsenin size karşı Hollandalı bir kitap yapamaması durumunda, inançlarınızın tutarlı olduğunu) bağımsız olarak gösteren Ramsey ve de Finetti tarafından değerlendirildi . olasılık olmak

Aksiyomatikleşmeler arasındaki farklılıklar, neyin tanımlanması ve neyin türetilmesi gerektiği ile ilgili büyük ölçüde bir zevk meselesidir. Ancak sayılabilir katkı maddesi, Cox’lardan veya Finetti’den türetilemeyen Kolmogorov’lardan biri ve tartışmalı. Bazı Bayesliler (örneğin, Finetti ve Savage) sonlu katkılarda durur ve bu nedenle Kolmogorov'un tüm aksiyomlarını kabul etmeyin . Sonsuz aralıklarla düzgün olasılık dağılımlarını uygunsuzluk olmadan koyabilirler. Diğerleri de Villegas'ı, monoton sürekliliği varsayarak takip eder ve sayılabilir bir katkı sağlar.

Ramsey (1926), "Gerçek ve olasılık", Ramsey (1931) 'de, Matematiğin Temelleri ve Diğer Mantıksal Yazılar

de Finetti (1931), "Sul significato soggettivo della probabilità", Fundamenta Mathematicæ , 17 , s. 298 - 329

Villegas (1964), "Niteliksel olasılık üzerine -algebras", Ann. Matematik. Devletçi. , 35,4 .$\sigma$