Gürültülü sinüs dalgası için olasılık dağılımı

Analitik olarak bazı ölçüm hatası olduğunda salınım fonksiyonundan örnekleme noktalarının olasılık dağılımını hesaplamak istiyorum. Zaten "gürültü olmadan" kısmı için olasılık dağılımını hesapladım (bunu sonuna koyacağım), ama nasıl "gürültü" ekleyeceğimizi anlayamıyorum.

Sayısal tahmin

Daha açık olmak gerekirse, tek bir döngü sırasında rastgele puan topladığınız fonksiyonlarının olduğunu düşünün ; noktaları bir histogramda kullanırsanız, dağıtımla ilgili bir şey elde edersiniz.$y(x) = \sin(x)$

Gürültü olmadan

Örneğin, ve karşılık gelen histogram$sin(x)$

Gürültü ile

Şimdi bir ölçüm hatası varsa, histogramın şeklini değiştirecektir (ve dolayısıyla altta yatan dağılımı düşünüyorum). Örneğin

Analitik Hesaplama

Umarım ikiniz arasında bazı farklar olduğuna ikna oldum, şimdi "gürültüsüz" durumu nasıl hesapladığımı yazacağım:

Gürültü olmadan

$$y(x) = \sin(x)$$

O zaman örneklediğimiz zamanlar eşit olarak dağıtılırsa, için olasılık dağılımı karşılanmalıdır:$y$

$$P(y) dy = \frac{dx}{2\pi}$$

o zamandan beri

$$\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}\left(\arcsin(y)\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$$

ve bu yüzden

$$P(y) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1 - y^{2}}}$$

ki bu normalleştirme ile "gürültü yok" durumunda üretilen histograma uyar.

Gürültü ile

Yani sorum şu: Analitik olarak gürültüyü dağıtım içine dahil edebilir miyim? Bence dağıtımları akıllıca bir şekilde birleştirmek ya da tanımına gürültü eklemek gibi bir şey olduğunu düşünüyorum , ancak fikirleri ve ileriye doğru hareket etmenin yolları ve yollarım yok, bu yüzden herhangi bir ipucu / ipucu veya hatta önerilen okuma çok olacak takdir.$y(x)$

Gürültü sürecinin nasıl yapılandırıldığına bağlıdır.

Durumunuzu doğru anladığımı varsayarsak, gürültü toplanır, bağımsız ve aynı şekilde dağılmışsa, gürültü yoğunluğunun yoğunluğu ile evrişimini alırsınız .$Y$

Eğer rastgele homojen bir döngü üzerinde, üzerinde gürültüsüz işlem koşullu olan ortalama ile dejenere olan ve varyans 0 marjinal dağılımı bu dejenere dağılımları eşit bir karışımıdır ; bu dağıtımı doğru şekilde yapmışsınız gibi görünüyor; en yani yoğunluk diyelim .$X_i$$x$$Y_i|X_i=x_i$$\sin(x_i)$$Y$$g$

Örneğin, gürültünüz ise , o zaman , gürültüsüz değişkenlerin o düzgün karışımıyla gürültü toplamının yoğunluğudur.$\epsilon_i\sim N(0,\sigma^2)$$f(\epsilon)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp({\frac{\epsilon^2}{2\sigma^2}})$$f*g$

$f_{Y+\epsilon}(z) = (f*g)(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(y)f_{\epsilon}(z-y)dy=\int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(z-w)f_{\epsilon}(w)dw$

(bu evrişim sayısal olarak yapıldı; bu örnekte integralin ne kadar izlenebilir olduğunu bilmiyorum, çünkü denemedim.)

Bence P (x) için türetilmiş ifade iki faktörle kapalıdır. Düzgün dağılmış örnek süresi, fazı -pi, pi aralığında eşit olarak dağıtır. Trigonometrik fonksiyon, olasılığı {-1,1} y aralığında dağıtır. P (y) 'nin bu aralıkta entegrasyonu, yukarıdaki integralinizle elde edildiği gibi = 1 değil, 2 olmalıdır. Bence P (y) = 1 / (pi Sqrt (1-y ^ 2))