Normal dağılımın basıklığı neden 0 yerine 3'tür?

Normal dağılımın basıklığının 3 olduğu ifadesiyle ne kastedilmektedir? Yatay çizgi üzerinde 3 değerinin tepe olasılığa karşılık geldiği anlamına mı geliyor, yani 3 sistemin modu mu?

Normal bir eğriye baktığımda, zirve merkezde, yani 0'da ortaya çıkıyor gibi görünüyor.

normal-distribution moments kurtosis

— galip
kaynak

@ Glen_b'in yazdığı gibi, "basıklık" katsayısı dördüncü standart moment olarak tanımlanmıştır:

β_{2} = \frac{E [(X - μ)^{4}]}{(E [(X - μ)^{2}])^{2}} = \frac{μ_{4}}{σ^{4}}

${\beta_2=}\frac{\operatorname{E}[(X-{\mu})^4]}{(\operatorname{E}[(X-{\mu})^2])^2} {=} \frac{\mu_4}{\sigma^4}$ Normal dağılım için

μ_{4} = 3 σ^{4}

$\mu_4 = 3\sigma^4$ yani

β_{2} = 3

$\beta_2= 3$ . Fazla basıklıkgenellikle ile gösterilen

γ_{2}

$\gamma_2$ olan

γ_{2} = β_{2} (Normal) - 3

$\gamma_2 = \beta_2(\text{Normal}) -3$ . Dikkat edilmelidir çünkü bazen yazarlar "basıklık" yazarlar ve "fazla basıklık" anlamına gelirler.

— Alecos Papadopoulos

Re: Önceki yorumum. Aşırı basıklık katsayısı için doğru ifade

γ_{2} = β_{2} - β_{2} (Normal) = β_{2} - 3

$\gamma_2 = \beta_2 - \beta_2(\text{Normal}) = \beta_2 - 3$

— Alecos Papadopoulos

Basıklık kesinlikle değil tepe nerede konumu. Dediğiniz gibi, buna zaten mod denir.

Kurtoz standartlaşmış dördüncü andır: , baktığımız değişkenin standartlaştırılmış bir versiyonudur, o zaman popülasyon basıklığı standartlaştırılmış değişkenin ortalama dördüncü gücüdür; . Örnek basıklık, buna karşılık gelen standartlaştırılmış bir numune değerleri setinin ortalama dördüncü gücü ile ilişkilidir (bazı durumlarda büyük örneklerde 1'e giden bir faktör tarafından ölçeklendirilir). $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$ $E(Z^4)$

Belirttiğiniz gibi, bu dördüncü standartlaştırılmış moment normal bir rastgele değişken durumunda 3'tür. Alecos'un yorumlarda belirttiği gibi, bazı insanlar basıklığı ; buna bazen aşırı basıklık denir (aynı zamanda dördüncü kümülatördür). 'Basıklık' kelimesini gördüğünüzde, farklı insanların aynı kelimeyi iki farklı (ama yakından ilişkili) miktarlara atıfta bulunmak için kullanma olasılığını aklınızda bulundurmanız gerekir. $E(Z^4)-3$

Basıklık genellikle ya dorukluk * (diyelim ki zirvenin ne kadar keskin bir şekilde kıvrıldığı - bu muhtemelen "basıklık" kelimesini seçme niyetiydi) veya ağır kuyrukluluk (genellikle insanların ölçmek için kullanmak istedikleri şey) olarak tanımlanır. gerçek şu ki, olağan dördüncü standartlaştırılmış an, bu şeylerin hiçbirini ölçmemektedir.

Gerçekten de, Kendall ve Stuart'ın ilk hacmi, daha yüksek basıklığın mutlaka daha yüksek zirve (standartlaştırılmış bir değişkente) veya daha şiş kuyruklarla (üçüncü anın pek çok insanın tam olarak ölçmediği gibi) ilişkili olmadığını gösteren karşı örnekler verir. düşünüyorum).

Bununla birlikte, birçok durumda, her ikisi ile ilişkili olma eğilimi vardır, çünkü daha yüksek zirve ve ağır kuyrukluluk genellikle basıklık daha yüksek olduğunda görülür - sadece bunun böyle olduğunu düşünmeye dikkat etmeliyiz.

Basıklık ve çarpıklık güçlü bir şekilde ilişkilidir (basıklık, çarpıklığın karesinden en az 1 daha fazla olmalıdır; dağılım neredeyse simetrik olduğunda basıklığın yorumlanması biraz daha kolaydır.

resim açıklamasını buraya girin

Darlington (1970) ve Moors (1986) basitozun dördüncü moment ölçüsünün aslında "omuzlar" - ilgili değişkenlik gösterdiğini ve Balanda ve MacGillivray (1988) bu anlamda ilgili belirsiz terimlerle düşünmeyi önermişlerdir ( ve ölçmek için başka yollar da düşünelim). Dağılım yoğunlaşırsa , o zaman basıklık (mutlaka) küçüktür, eğer dağılım uzağa yayılırsa (aynı anda merkezde yığma ve olasılığı kuyruklara taşıma eğilimi gösterir) omuzlardan uzaklaştırmak için), dördüncü an basıklık büyük olacaktır. $\mu\pm\sigma$ $\mu\pm\sigma$ $\mu\pm\sigma$

De Carlo (1997) basıklık hakkında okumak için makul bir başlangıç noktasıdır (Wikipedia gibi daha temel kaynaklardan sonra).

Düzenleme: Ben daha yüksek zirve (0 yakınındaki değerler) hiç basıklık etkileyebilir olup olmadığını bazı zaman zaman sorgulama görüyorum. Cevap evet, kesinlikle olabilir. Bu durumda, bir standart değişkenin dördüncü moment olmanın bir sonucudur olduğunu That - Eğer artmalıdır bir standardize değişkenin dördüncü anı artırmak için tutarken sabiti . Bu, olasılıkın kuyruğa daha fazla hareket etmesinin (içeride $E(Z^4)$ $E(Z^2)$ $(-1,1)$ ); ve tersi - varyansı 1'de tutarken merkeze daha fazla ağırlık koyarsanız, kuyruğa da bir miktar dışarı çıkarırsınız.

[Yorumlarda tartışıldığı gibi, bu genel bir açıklama olarak yanlıştır; burada biraz farklı bir ifade gerekiyor.]

Sabit tutulan bu varyans etkisi, Dartos ve Moors'un makalelerinde bastozun "omuzlarda varyasyon" olarak tartışılmasına doğrudan bağlıdır. Bu sonuç bazı el dalgaları kavramı değil, basit bir matematiksel denkliktir - kişi basıklık yanlış olarak temsil edilmeden başka türlü olmayacaktır.

Şimdi zirveyi kaldırmadan içerideki olasılığı artırmak mümkündür . Aynı şekilde, uzaktaki kuyruğu daha ağır hale getirmeden (örneğin tipik bir kuyruk endeksiyle dışarıdaki olasılığı arttırmak da mümkündür . Yani, kuyruğu daha hafif hale getirirken basıklığı yükseltmek oldukça mümkündür (örneğin, ortalamanın her iki tarafında 2ds'nin ötesinde daha hafif bir kuyruğa sahip olmak). $(-1,1)$ $(-1,1)$

[Kendall ve Stuart'ı referanslara dahil etmem, basıklık konusundaki tartışmalarının da bu nokta ile ilgili olmasından kaynaklanıyor.]

Ne diyebiliriz ki? Basıklık genellikle olmadan daha yüksek bir tepe noktası ile ve daha ağır bir kuyruk ile ilişkili olan ya da kalmamak oluştuğu. Kesinlikle kuyrukla oynayarak bastosis kaldırmak daha kolaydır (çünkü 1 sd'den daha fazla uzaklaşmak mümkündür), daha sonra varyansı sabit tutmak için merkezi ayarlar, ancak bu, zirvenin bir etkisi olmadığı anlamına gelmez; elbette öyle yapar ve kişi bunun yerine odaklanarak basıklığı manipüle edebilir. Basıklık büyük ölçüde ancak sadece kuyruk ağırlığı ile ilişkili değildir - yine, omuz sonucu ile ilgili varyasyonlara bakın; kaçınılmaz bir matematiksel anlamda kurtosisin baktığı şey varsa.

Referanslar

Balanda, KP ve MacGillivray, HL (1988),
"Kurtosis: Eleştirel bir inceleme."
Amerikan İstatistikçi 42 , 111-119.

Darlington, Richard B. (1970),
"Kurtosis Gerçekten" Zirve mi? "
Amerikan İstatistikçi 24 , 19-22.

Moors, JJA (1986),
"Basıklık anlamı: Darlington yeniden incelendi."
Amerikan İstatistikçi 40 , 283-284.

DeCarlo, LT (1997),
"Basıklık anlamı ve kullanımı üzerine."
Psyschol. Yöntemler, 2 , 292-307.

Kendall, MG ve A. Stuart,
İleri İstatistik Teorisi ,
Cilt. 1, 3. Baskı.
(daha yeni sürümlerde Stuart ve Ord vardır)

— Glen_b-Monica'yı eski durumuna döndür
kaynak

İlginç gerçek: "Standart" Normal dağılımının fazla basıklığının

olduğu varsayıldığında , "standart" Laplace dağılımının bir eski değeri vardır. basıklık

. (Büyük cevap için açık +1.)

0

$0$

3

$3$

— usεr11852 diyor ki Reinstate Monic

Westfall'nun basıklık üzerine Kurtosis başlıklı makalesi, 1905-2014 RIP düşünülmeye değer. DeCarlo'yu (yukarıda listelenen diğerleri arasında) basıklık bilgisini zirve

— Lil'Lobster

@ Sanırım Westfall davasını abartıyor. (Neredeyse) tamamen ağır kuyruklara odaklanarak, kesinlikle yanlıştır. Basıklık ağır kuyruklu oldukça kuvvetli ilişkili iken, basıklık kanıtlanabilir olduğunu değil ağır tailedness (yukarıdaki gibi referansların bazıları kaplıdır ağır kuyrukları kolay bulmak için vardır alt basıklıklarıyla ile gitmek gibi karşıt, onlar marka kolay da konum). Basıklık, sivrilik ile daha az güçlü bir şekilde ilişkilidir, ancak hala orada bir ilişki vardır; zirve olmadığı için ısrar ederek eleştirilerinde çok ileri gider (benzer eleştiriler kendi sonuçları için de geçerlidir). ...

— ctd

Glen_b, sen ve ben matematiği seviyoruz. Eğer beni "davamı abarttığım" için eleştireceksen, lütfen bana Pearson'un basıklığını "doruk noktasına" bağlayan matematiksel argümanını ver.

— Peter Westfall

Gelen_b, yorumunuz "Bu, olasılığın kuyruğa daha fazla hareket etmesinin mu + - sigma içinde bir miktar daha eşlik etmesi gerektiği anlamına gelir - tersi - 1'de varyansı tutarken daha fazla ağırlık koyarsanız, kuyrukta "Yanlış. Olmamalı. Mu + - sigma içindeki olasılığı (aslında tüm dağılımı) sabit tutabilir ve belirli parametrik dağılım familyalarında basıklığı sonsuza kadar yükseltebilirsiniz. Buraya bakın: math.stackexchange.com/questions/167656/…

— Peter Westfall

İşte normal dağılımın basıklığı ile ilgili olarak "3" sayısının neyi ifade ettiğini anlamak için doğrudan bir görselleştirme.

$X$ $Z = (X-\mu)/\sigma$ $V = Z^4$ $V$ $p_V(v)$

$X$ $p_V(v)$

$X$ $p_V(v)$ $X$ $p_V(v)$ $X$

$p_V(v)$

Bu açıdan bakıldığında, basitozun esasen doğru "kuyruk ağırlığı" yorumu, "artan kuyruk ağırlığı" ile "kuyrukta artan kütle" nin karıştırılmasını önlemek için daha spesifik olarak "kuyruk kaldıraç" olarak karakterize edilebilir. Sonuçta, daha yüksek basıklıkların kuyrukta daha az kütleye karşılık gelmesi mümkündür, ancak bu azalmış kütlenin daha uzak bir pozisyonda olduğu.

"Bana ayakta duracak yer ver, ben de dünyayı hareket ettireceğim." -Arşimet

— Peter Westfall
kaynak