Ters bağımsız değişkenli regresyon

Diyelim ki bağımlı değişkenlerin vektörü ve bağımsız değişkenin vektör . Zaman karşı çizilir , ikisi arasında doğrusal bir ilişki (yukarı doğru bir eğilim) olduğunu görüyoruz. Şimdi, bu aynı zamanda ve arasında doğrusal bir düşüş eğilimi olduğu anlamına gelir .X Y $N$$Y$$N$$X$$Y$ Y$\frac{1}{X}$$Y$$X$

Şimdi, regresyonu çalıştırırsam: ve uygun değeriY = β$Y = \beta * X + \epsilon$$\hat{Y} = \hat{\beta}X$

Sonra regresyonu çalıştırıyorum: ve uygun değeri elde et ~ Y = α$Y = \alpha * \frac{1}{X} + \epsilon$$\tilde{Y} = \hat{\alpha} \frac{1}{X}$

Tahmin edilen iki değer, ve yaklaşık olarak eşit olacak mı? ~ $\hat{Y}$$\tilde{Y}$

 Y karşı çizildiğinde , ikisi arasında doğrusal bir ilişki (yukarı doğru eğilim) olduğunu görüyorum. Şimdi, bu aynı zamanda Y ve X arasında doğrusal bir düşüş eğilimi olduğu anlamına gelir.$\frac{1}{X}$

Son cümle yanlış: düşüş eğilimi var, ama kesinlikle lineer değil:

Ben bir fonksiyon artı biraz gürültü kullandım . Gördüğünüz gibi, karşı çizmek doğrusal bir davranış verirken , karşı doğrusal olmaktan uzaktır. YY$f(x) = \frac{1}{x}$$Y$$Y$ Y$\frac{1}{X}$$Y$$X$

(@whuber grafiğine karşı homoscedastik görünmediğine dikkat çekiyor . Bence düşük için daha yüksek varyansa sahip gibi görünüyor, çünkü çok daha yüksek durum yoğunluğu daha geniş aralığa neden oluyor, bu da aslında Aslında, veriler homoscedastiktir: Verileri üretiyordum, bu nedenle boyutuna bağımlılık yoktu .)$Y$ Y$\frac{1}{X}$$Y$Y = 1 / X + rnorm (length (X), sd = 0.1)$X$

Yani genel olarak ilişki çok doğrusal değildir. Yani, aralığınız o kadar dar değilse,İşte bir örnek:d $X$$\frac{d \frac{1}{x}}{dx} = - \frac{1}{x^2} \approx const.$

Sonuç olarak:

• Genel olarak, bir tipi fonksiyona doğrusal veya polinom fonksiyonuyla yaklaşmak çok zordur . Ofset terimi olmadan asla makul bir yaklaşım elde edemezsiniz.$\frac{1}{X}$
• Eğer aralık, doğrusal bir yaklaşım sağlamak için dar yeterlidir, her durumda bir ilişki olmalıdır tahmin verilerinden mümkün olmayabilir olacak (doğrusal olup ).$X$$\frac{1}{X}$$X$

Genel olarak "yaklaşık olarak eşit" olmaları için hiçbir neden göremiyorum - ama tam olarak eşit olarak ne demek istiyorsun?

İşte bir oyuncak örneği:

library(ggplot2)
n <- 10^3
df <- data.frame(x=runif(n, min=1, max=2))
df$y <- 5 / df$x + rnorm(n)
p <- (ggplot(df, aes(x=x, y=y)) +
      geom_point() +
      geom_smooth(method="lm", formula=y ~ 0 + x) +  # Blue, OP's y hat
      geom_smooth(method="lm", formula=y ~ 0 + I(x^-1), color="red"))  # Red, OP's y tilde
p

Fotoğraf:

"Mavi" model, kesişme (yani sabit) bir terime sahip olmasına izin verilirse çok daha iyi olurdu ...