Çarpıklık ve Basıklık için normalleştirilmiş eşdeğerler var mı?

Verilerle aynı birime sahip olacak olan Skewness'e normalleştirilmiş eşdeğeri ne olurdu? Benzer şekilde Kurtosis'e normalleştirilmiş eşdeğer ne olur? İdeal olarak, bu işlevler verilere göre doğrusal olmalıdır, yani tüm gözlemler bir faktörle çarpılacaksa n, ortaya çıkan normalleştirilmiş çarpıklık ve basıklık aynı faktörle çarpılacaktır n. Bu tür normalleştirilmiş eşdeğerlere sahip olmanın yararı, bunları standart bir kutu ve bıyık grafiğinin üzerine bindirebilmektir.

skewness kurtosis

— Ismael Ghalimi
kaynak

Ne eğlenceli bir soru!

— Alexis

Bunları grafikler üzerinde göstermenin ne kadar aydınlatıcı olacağından emin değilim. Standart sapmaları göstermemizin nedeni, verilerin dağılımının doğal bir ölçüsünü vermesidir (normal olarak dağıtılmışsa): Gözlemlerin% 65'i aralık içinde yer alır. Üçüncü ve dördüncü anlar için böyle doğal görsel yorumlar olduğunu sanmıyorum.

— Ben Kuhn

Verileriniz hakkında ne göstermeye çalışıyorsunuz? Dağılımın belirli bir niteliksel davranışı varsa, bir keman çizimi tercih edilebilir mi? Ama evet, her neyse, bu eğlenceli bir soru.

— Ben Kuhn

Kişi, veri kümesinin dağılımını gösteren bir histograma bakarak bir çarpıklık ve basıklık hissi alabilir, ancak bu önlemlerin çok öznel bir algısını verecektir. Onları, biri kutu ve bıyık grafiğinin eksenine paralel, diğeri de dikey olan iki doğrusal ölçek üzerinde tasvir etmek istiyorum. Bu, birincil kutunun üstüne yerleştirilmiş ayrı bir kutu olarak tasvir edilebilir. Bu kutu ne kadar uzun olursa, veriler o kadar çarpık olur. Daha geniş, daha sivri (yüksek basıklık).

— Ismael Ghalimi

Ve viyolonsel planına bağlantı için teşekkürler. Gerçekten zekice.

— Ismael Ghalimi

Yanıtlar:

Çarpıklık ölçüleri kasıtlı olarak birimsizdir .

Her zamanki moment-çarpıklığı standart bir üçüncü andır, $E[(\frac{X-\mu}{\sigma})^3]$ .

Ortalar ancak standartlaştırmazsanız, $\mu_3=E[(X-\mu)^3]$ ... daha sonra küp birimler halinde .

İle aynı birimlerde bir şey istiyorsanız $X$ , küp kökünü almanız gerekir, aynı şekilde varyansın karekökünü alır ve orijinal verilerin aynı birimlerinde bir şey elde ederiz. (Bununla birlikte, dikkatli olun, çünkü birçok paket negatif sayıların küp köklerini almaz, bunu şu şekilde hesaplamanız gerekebilir: $\quad\text{sign}(X-\mu)\times |E(X-\mu)^3|^{1/3}\:$ .)

Bunun ne kadar yararlı olacağından emin değilim.

Diğer Pearson çarpıklık ölçüleri için, iki Pearson çarpıklık ölçüleri gibi, $\sigma$ .

Örnek çarpıklık ölçüleri için $\sigma$ ve $\mu$ genellikle bilinmemektedir, örnek çarpıklığında olduğu gibi, bunları tipik olarak kendi örnek tahminleriyle değiştirirsiniz.

Basıklık aynı paterni izler - an basıklık için , verilerle ölçeklendirilmiş bir şey elde etmek için standardize edilmemiş dördüncü anın dördüncü köklerini almanız gerekir .

Diğer basıklık önlemleri için, sadece $\sigma$ .

— Glen_b-Monica'yı eski durumuna döndür
kaynak

Çarpıklık ve basıklık şekil özellikleridir. Eğer bir şeyin, bir topun yuvarlak olduğunu söylersem, o şeyin yarıçapının ne olduğu önemli değil. Küçük bir top veya büyük bir top olabilir . Öte yandan, küçük bir top veya büyük bir küp dediğimde, şekle değil nesnenin boyutuna atıfta bulunuyorum.

Bu bağlamda, standart sapma dağılımın büyüklüğüdür, bu nedenle çarpıklık ve basıklık boyutlarına göre normalleştirilir . Standart sapmanın mekaniğe, çarpıklık ve basıklık geometrisine ait olduğunu da söyleyebilirsiniz. Bu nedenle, hayır, değişkenin ölçü birimlerine sahip olmamız gerekmez. Boyut ve şekil ayrıdır. Büyük ve küçük bir top eşit şekilde yuvarlaktır , yani boyut bu durumda önemli değildir :)

— Aksakal
kaynak

Bölgeye dağıtılan vektörleri belirtme $R$ , sıfırıncı olduğunu ve ilk anın zaten normalleştirilmiş olduğunu varsayalım. İkinci an şu şekilde hesaplanır: $M_2 = \int_R {x x^T} |dx|$ , yani köşegenleştirmeyi bulabilirsek $M_2 = P\Lambda^2 P^T$ , sonra tanımlayabileceğiz

x^{'} = Λ^{- 1} P^{T} x

$x'=\Lambda^{-1} P^Tx$ Böylece

M_{2}

$M_2$ normalleştirilmiş:

M_{2 i j}^{'} = \int_{R} (Λ^{- 1} P^{T} x) (Λ^{- 1} P^{T} x)^{T} | d x |

$M'_{2ij} = \int_R {(\Lambda^{-1}P^T x)(\Lambda^{-1} P^T x)^T} |dx|$

= Λ^{- 1} P^{T} (\int_{R} x x^{T} | d x |) P Λ^{- 1}

$= \Lambda^{-1} P^T (\int_R { xx^T |dx|}) P \Lambda^{-1}$

= Λ^{- 1} P^{T} P Λ^{2} P^{T} P Λ^{- 1} = I

$= \Lambda^{-1} P^T P \Lambda^2 P^T P \Lambda^{-1} = I$

İkinci anın geometrik anlamı, köşegenleştirmenin ikinci anı normalleştirmesi gerçeğiyle doğrulanan "yönelim" dir. Bu normalleştirme altında çarpıklık hesaplandığında Mardia'nın çarpıklığı denir .

— Han JaeSeung ÖğrenciOfKyoto
kaynak