Momentlerin ardındaki mantık yöntemi nedir?

Neden "Momentler Yöntemi" nde, nokta tahmincisi bulmak için örnek anları nüfus anlarıyla eşitliyoruz?

Bunun arkasındaki mantık nerede?

intuition method-of-moments

— kullanıcı 31466
kaynak

Topluluğumuzda bununla başa çıkmak için bir fizikçi olsaydı iyi olurdu.

— mugen

mugen, fizikle hiç bir ilişki görmüyorum.

— Aksakal

@Aksakal, fizikteki fonksiyon anlarını da kullanıyorlar ve birileri daha iyi yorumlama için paralellik yaptığında her zaman güzel.

— mugen

Bahsedildiği gibi bu cevap , büyük sayılar kanunu (sıklıkla) basit sonuçlanan bir örnek an be nüfus anı tahmin etmek için bir gerekçe (asimptotik olsa) sağlayan tutarlı tahmin ediciler

— Glen_b -Reinstate Monica

Bütün fikir anları kullanarak parametreleri temsil etmek değil midir? Poisson dağılımı parametresini tahmin etmeye çalışırsanız, ortalamayı (ilk anı) bularak lambda parametreniz için bir tahminci olarak kullanabilirsiniz.

— denis631

Yanıtlar:

Aynı ve bağımsız olarak dağılmış rastgele değişkenlerden gerçekleşmelerden oluşan bir örnek ergodiktir. Böyle bir durumda, "örnek momentler" , eğer teorik momentler mevcutsa ve sonluysa, ortak dağılımın teorik momentlerinin tutarlı tahmin edicileridir. $n$

Bunun anlamı şudur ki

\begin{matrix} (1) & {\hat{μ}}_{k} (n) = μ_{k} (θ) + e_{k} (n), e_{k} (n) \overset{p}{\to} 0 \end{matrix}

$\hat \mu_k(n) = \mu_k(\theta) + e_k(n), \;\;\; e_k(n) \xrightarrow{p} 0 \tag{1}$

Yani teorik anı karşılık gelen örnek momentle eşitleyerek

{\hat{μ}}_{k} (n) = μ_{k} (θ) \Rightarrow \hat{θ} (n) = μ_{k}^{- 1} ({\hat{μ}}_{k} (n)) = μ_{k}^{- 1} [μ_{k} (θ) + e_{k} (n)]

$\hat \mu_k(n) = \mu_k(\theta) \Rightarrow \hat \theta(n) = \mu_k^{-1}(\hat \mu_k(n)) = \mu_k^{-1}[\mu_k(\theta) + e_k(n)]$

Yani ( bağlı değildir ) $\mu_k$ $n$

plim \hat{θ} (n) = plim [μ_{k}^{- 1} (μ_{k} (θ) + e_{k})] = μ_{k}^{- 1} (μ_{k} (θ) + plim e_{k} (n))

$\text{plim} \hat \theta(n) = \text{plim}\big[\mu_k^{-1}(\mu_k(\theta) + e_k)\big] = \mu_k^{-1}\big(\mu_k(\theta) + \text{plim}e_k(n)\big)$

= μ_{k}^{- 1} (μ_{k} (θ) + 0) = μ_{k}^{- 1} μ_{k} (θ) = θ

$=\mu_k^{-1}\big(\mu_k(\theta) + 0\big) = \mu_k^{-1}\mu_k(\theta) = \theta$

Bunu yapıyoruz çünkü bilinmeyen parametreler için tutarlı tahmin ediciler elde ediyoruz.

— Alecos Papadopoulos
kaynak

"plim" ne anlama geliyor?

içinde "p" yi bilmiyorum

e_{k} (n) \overset{p}{\to} 0

$e_k(n) \xrightarrow{p} 0$

— kullanıcı 31466

@leaf olasılık sınırı

— Alecos Papadopoulos

Olasılık sınırı yerine düzenli sınır olsaydı ne olurdu?

— user 31466

Bize tahmin edicinin sabit hale geldiğini söylerdi , olasılıkla birine eğilimli değildir. Belki de rastgele değişkenlerin yakınsama modlarına bakmalısınız, wikipedia iyi bir girişe sahiptir, en.wikipedia.org/wiki/Convergence_of_random_variables

— Alecos Papadopoulos

μ_{k}

$\mu_k$

T (F) = \int t (x) d F (x)

$T(F) = \int t(x) \, {\rm d}F(x)$

F (x)

$F(x)$

F (x) = \int_{\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} \exp [- \frac{(u - μ)^{2}}{2 σ^{2}}] d u

$F(x) = \int_{\infty}^x \frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\bigl[ - \frac{(u-\mu)^2}{2\sigma^2} \bigr] \, {\rm d}u$

F_{n} (x) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} 1 {x_{i} \leq x}

$F_n(x) = \frac 1n \sum_{i=1}^n 1\{ x_i \le x \}$

d F_{n} (x)

${\rm d}F_n(x)$

d F_{n} (x)

${\rm d}F_n(x)$

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} t (x_{i})

$\frac1n \sum_{i=1}^n t(x_i)$

T (\cdot)

$T(\cdot)$

F_{n} (x)

$F_n(x)$

F (x)

$F(x)$

— StasK
kaynak

Buna "analoji ilkesi" denen bir şey duymadım, ama gerçekten sık kullanılan ekonometrik bir analiz modelidir: popülasyon parametresine ihtiyaç duyulduğu ancak bilinmediği zaman örnek tahmin ediciyi takın.

— Aksakal

@Aksakal: "popülasyon parametresi gerektiğinde ancak bilinmediğinde örnek tahmin ediciyi takın." Bu yaklaşım basitçe istatistik olarak adlandırılmıyor mu?

— user603

@ user603: Hayır, değil. Başka alternatif yaklaşımlar da vardır ve eklenti tahmin edicileri kötü olabilir.

— kjetil b halvorsen