Toplam olay sayısı için bir güven aralığı nasıl bulunur

Bazı olasılıkları olan bir olayı algılayacak dedektör var p . Dedektör bir olayın meydana geldiğini söylüyorsa, durum her zaman böyledir, bu nedenle yanlış pozitifler yoktur. Bir süre çalıştırdıktan sonra, k olaylarının algılanmasını sağlarım. Ortaya çıkan toplam olay sayısının, tespit edildiğini veya başka bir şekilde,% 95 diyelim, hesaplamak istiyorum.

Diyelim ki 13 olay tespit edildim. 13 ile% 19 arasında p olayı olduğunu% 95 güven ile hesaplayabilmek istiyorum .

İşte şimdiye kadar denedim:

N toplamı varsa k olaylarını algılama olasılığı :

binomial(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k)

O aşkın toplamı n dan k sonsuza geçerli:

1/p

Yani toplamda n olay olma olasılığı :

f(n) = binomial(n, k) * p^(k + 1) * (1 - p)^(n - k)

Eğer% 95 emin olmak istiyorsam ilk kısmi toplamı bulmalıyım f(k) + f(k+1) + f(k+2) ... + f(k+m)ki bu en az 0.95 ve cevabı [k, k+m]. Bu doğru bir yaklaşım mı? Ayrıca cevap için kapalı bir formül var mı?

Ben bir başarı sabit olasılığı p olduğunda, k_th başarıdan önce X başarısızlık olasılığı olasılığını döndüren negatif binom dağılımı kullanmayı tercih eder .

Bir örnek kullanma

k=17 # number of successes
p=.6 # constant probability of success

arızalar için ortalama ve sd

mean.X <- k*(1-p)/p
sd.X <- sqrt(k*(1-p)/p^2) 

X arızalarının dağılımı yaklaşık olarak bu şekle sahip olacaktır.

plot(dnbinom(0:(mean.X + 3 * sd.X),k,p),type='l')

Böylece, başarısızlık sayısı (% 95 güvenle) yaklaşık olarak

qnbinom(.025,k,p)
[1] 4

ve

qnbinom(.975,k,p)
[1] 21

Yani inerval [k + qnbinom (.025, k, p), k + qnbinom (.975, k, p)] (örneğin sayılarını kullanarak [21,38])

N, p (n) için bir dağılım seçmek istediğinizi varsayarsak, Bayes yasasını uygulayabilirsiniz.

Aslında n meydana geldiği göz önüne alındığında k olaylarının meydana gelme olasılığının bir binom dağılımı ile yönetildiğini biliyorsunuz.

$p(k|n) = {n \choose k} p^k (1-p)^{(n-k)}$

Gerçekten bilmek istediğiniz şey, k gözlemlediğiniz göz önüne alındığında, n olayın gerçekleşme olasılığıdır. Bayes lay tarafından:

$p(n|k) = \frac{p(k|n)p(n)}{p(k)}$

Toplam olasılık teoremini uygulayarak şunu yazabiliriz:

$p(n|k) = \frac{p(k|n)p(n)}{\sum_{n'} p(k|n')p(n')}$

Dolayısıyla, daha fazla bilgi olmadan, nin dağılımı hakkında daha fazla ilerleyemezsiniz.$p(n)$

Bununla birlikte, bir dağılım almak istiyorum olan bir değeri vardır burada daha büyük , ya da yeterince sıfıra yakın, daha sonra biraz daha iyi yapabilir. Örneğin, dağılımının aralığında eşit olduğunu varsayalım . bu durum:$p(n)$$n$$p(n) = 0$$n$$[0,n_{max}]$

$p(n) = \frac{1}{n_{max}}$

Bayes formülasyonu aşağıdakileri basitleştirir:

$p(n|k) = \frac{p(k|n)}{\sum_{n'} p(k|n')}$

Sorunun son kısmına gelince, en iyi yaklaşımın üzerinde kümülatif bir toplama yapmak , kümülatif olasılık dağılım fonksiyonunu oluşturmak ve 0.95 sınırına ulaşılana kadar tekrarlamak olduğunu kabul ediyorum .$p(n|k)$

Bu sorunun SO'dan taşındığı göz önüne alındığında, python'daki oyuncak örnek kodu aşağıda eklenmiştir

import numpy.random

p = 0.8
nmax = 200

def factorial(n):
    if n == 0:
        return 1
    return reduce( lambda a,b : a*b, xrange(1,n+1), 1 )

def ncr(n,r):
    return factorial(n) / (factorial(r) * factorial(n-r))

def binomProbability(n, k, p):
    p1 = ncr(n,k)
    p2 = p**k
    p3 = (1-p)**(n-k)
    return p1*p2*p3

def posterior( n, k, p ):
    def p_k_given_n( n, k ):
        return binomProbability(n, k, p)
    def p_n( n ):
        return 1./nmax
    def p_k( k ):
        return sum( [ p_n(nd)*p_k_given_n(nd,k) for nd in range(k,nmax) ] )
    return (p_k_given_n(n,k) * p_n(n)) / p_k(k)


observed_k   = 80
p_n_given_k  = [ posterior( n, observed_k, p ) for n in range(0,nmax) ]
cp_n_given_k = numpy.cumsum(p_n_given_k)
for n in xrange(0,nmax):
    print n, p_n_given_k[n], cp_n_given_k[n]

Ölçmek Eğer olay ve bildiklerimisizlere algılama verimliliği olan otomatik sayısı "true" için ölçülen sonuç kadar düzeltebilir .$k$$p$$k_\mathrm{true} = k/p$

O zaman sorunuz, gözlemlerin% 95'inin aralığını . Bu aralığı tahmin etmek için Feldman-Cousins ​​yöntemini kullanabilirsiniz. ROOT'a erişiminiz varsa, bu hesaplamayı sizin için yapacak bir sınıf vardır.$k_\mathrm{true}$

Sen den Feldman-Cousins ile alt ve üst sınırları hesaplamak olacaktır düzeltilmemiş olaylar sayısı ve daha sonra% 100'e onları büyütmek . Bu şekilde, gerçek ölçüm sayısı, ölçülmeyen ölçeklenmiş bir sayıyı değil, belirsizliğinizi belirler.$k$$1/p$

{
gSystem->Load("libPhysics");

const double lvl = 0.95;
TFeldmanCousins f(lvl);

const double p = 0.95;
const double k = 13;
const double k_true = k/p;

const double k_bg = 0;

const double upper = f.CalculateUperLimit(k, k_bg) / p;
const double lower = f.GetLowerLimit() / p;

std::cout << "["
  lower <<"..."<<
  k_true <<"..."<<
  upper <<
  "]" << std::endl;
}

Bence güven aralıklarının amacını yanlış anladın. Güven aralıkları, parametrenin gerçek değerinin nerede olduğunu değerlendirmenizi sağlar. Yani, sizin durumunuzda, için bir güven aralığı oluşturabilirsiniz . Veriler için bir aralık oluşturmak mantıklı değildir.$p$

Bunu söyledikten sonra, tahminine sahip olduktan sonra binom pdf kullanarak 14, 15 vb. Gibi farklı gerçekleşmeleri gözlemleme olasılığını hesaplayabilirsiniz.$p$