Wishart-Wishart posteriorunun parametreleri nelerdir?


12

N boyutlu vektörler \ mathbf {x_1}, .., \ mathbf {x_N} \ begin {align} \ mathbf {x_i} & \ sim oluşturmak için kullanılan normal bir dağılımın hassas matrisini çıkarırken \ mathcal {N} (\ boldsymbol {\ mu, \ Lambda ^ {- 1}}) \\ \ end {align} Wishart dağıtımı için önceki eşlenik olduğundan, genellikle \ boldsymbol {\ Lambda} üzerine bir Wishart yerleştiriyoruz bilinen ortalama ve bilinmeyen varyans ile çok değişkenli normal dağılımın önceliği: \ begin {align} \ mathbf {\ Lambda} & \ sim \ mathcal {W} (\ upsilon, \ boldsymbol {\ Lambda_0}) \\ \ end {align } burada \ upsilon olan serbestlik derecesi ve \ boldsymbol {\ Lambda_0}ΛNx1,..,xN

xiN(μ,Λ1)
Λ
ΛW(υ,Λ0)
υΛ0ölçek matrisi . Modele sağlamlık ve esneklik eklemek için Wishart'ın parametrelerine bir hiper prior koyduk. Örneğin, Görür ve Rasmussen şunları önerir:
Λ0W(D,1DΛx)1υD+1G(1,1D)
burada G , Gama dağılımıdır.

Soru:

posterior örnek amacıyla Λ0

p(Λ0|X,Λ,υ,D,Λx)W(Λ|υ,Λ0)W(Λ0|D,1DΛx)

Bu posteriorun ailesi ve parametreleri nedir?

Not:

\ Boldsymbol {\ Lambda_0} 'a bağlı olmayan tüm faktörleri bırakarak Λ0ve parametreleri bir Wihsart parametrelerine göre tanımlayarak şu parametrelerle bir Wishart alıyorum:

υ=υ+DΛ=Λ+Λx

Bu oldukça hoş görünüyor, ama ne kitaplarda ne de internette bir örnek bulamadığımdan emin değilim.

Erratum :

Görur ve Rasmussen, Wishart parametreleri üzerindeki bu hiper-ilkeleri önerir, ancak bu denklem:

ΛW(υ,Λ0)

bunun yerine:

ΛW(υ,Λ01)

bu nedenle eşlenik eksikliğini gidermek. ı tutmak istiyorsak , Ters Wishart'ı daha önce kullanmalıyız (bakınız @ Xi'an'ın cevabı)Λ0

Yanıtlar:


5

iki yoğunluğun ürünü kurşunları

p(Λ0|X,Λ,υ,D,Λx)W(Λ|υ,Λ0)W(Λ0|D,1DΛx)
p(Λ0|X,Λ,υ,D,Λx)|Λ0|υ/2exp{tr(Λ01Λ)/2}×|Λ0|(Dp1)/2exp{Dtr(Λx1Λ0)/2}|Λ0|(Dυp1)/2exp{tr(Λ01Λ+DΛx1Λ0)/2},

standart bir yoğunluk gibi görünmemektedir. Türlü eşlenik tutmak için, sağ hiyerarşik üzerinde önceden gibi olmalıdır şey Λ0
Λ0IW(Λ0|D,1DΛx).

1
@ Xi'an ipucu için teşekkürler!, Olasılıkla parametre (benim hatam, bakınız düzenleme). Bunu kullanarak ve Wishart * Wishart'ı saklayarak bir cevap gönderdim. Λ01
alberto

6

Tamam, @ Xi'an cevabı sayesinde tüm türetmeyi yapabilirim. Genel bir durum için yazacağım: ; burada eşlenikliğin anahtarıdır. kullanmak istiyorsak, şöyle olmalıdır:

W(W|υ,S1)×W(S|υ0,S0)
S1S
W(W|υ,S)×IW(S|υ0,S0)

İlk davayı yapıyorum (eğer yanılıyorsam beni düzeltin):

W(W|υ,S1)×W(S|υ0,S0)|S|υ/2exp{12tr(SW)}×|S|υ0D12exp{12tr(S01S)}|S|υ+υ0D12exp{12tr((W+S01)S)}

burada olduğu gerçeğini kullandık . İnceleme ile bunun bir Wishart dağıtımı olduğunu görüyoruz: tr(SW)=tr(WS)

p(S|)=W(υ+υ0,(W+S01)1)

İçin Uzatma çizerNW1...WN :

hassas matrisimiz olduğu durumda , olasılık olasılığının bir ürünü olur ve elde ederiz:NN

p(S|)=W(Nυ+υ0,(i=1NWi+S01)1)
Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.