Bağımlı değişkenlerin toplamının ortalamasını nasıl bulur?

Bağımsız değişkenlerin toplamının ortalamasının, her bir bağımsız değişkenin ortalamalarının toplamı olduğunu biliyorum. Bu bağımlı değişkenler için de geçerli mi?

Beklenti (ortalamayı alarak) doğrusal bir operatördür .

Bu , diğer şeylerin yanı sıra , bağımsız olup olmadıklarına bakılmaksızın, X ve Y'nin iki rastgele değişkeni için (beklentilerin olduğu) $\mathbb{E}(X + Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)$ anlamına gelir.$X$$Y$

Genelleştirebiliriz (örn. Tümevarım yoluyla ) , her E beklentisi ( E ( X i ) mevcut olduğu sürece $\mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}(X_i)$ .$\mathbb{E}(X_i)$

Yani evet, toplamın ortalaması, değişkenler bağımlı olsa bile, ortalamanın toplamı ile aynıdır. Ancak bunun varyans için geçerli olmadığını unutmayın! Dolayısıyla, bağımsız değişkenler veya hatta bağımlı ancak ilişkisiz değişkenler için $\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y)$ olsa da , genel formül V a r ( X + Y ) = V a r ( X ) +$\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y) + 2\mathrm{Cov}(X, Y)$ burada$\mathrm{Cov}$ olankovaryansdeğişkenlerin.

TP; DR:
Var olduğu varsayıldığında, ortalama beklenen bir değerdir ve beklenen değer bir integraldir ve integraller toplamlara göre doğrusallık özelliğine sahiptir.

TS; DR:
rastgele değişkenlerin toplamı ile ilgili olması nedeniyle , örneğin, bunların çoğu bir fonksiyonu, toplam ortalama bir E ( E n ) bunların dikkate alınmak sureti ile ortak dağıtımı ( tüm araçları) ifade eden mevcut ve sonlu varsayılmaktadır X çok değişkenli vektör , n RV, ortak yoğunluğu aşağıdaki gibi ifade edilebilir f x ( X ) = f X 1 , . . . , $Y_n = \sum_{i=1}^n X_i$$E(Y_n)$$\mathbf X$$n$ve ortak destek D=S x 1 x. . . ×S X n KullanmaUnconcscious İstatistikçi Hukuku elimizdekibirdenintegralini$f_{\mathbf X}(\mathbf x)= f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)$$D = S_{X_1} \times ...\times S_{X_n}$

.

$$E[Y_n] = \int_D Y_nf_{\mathbf X}(\mathbf x)d\mathbf x$$

Bazı düzenlilik koşulları altında çoklu integrali iteratif bir integrale ayırabiliriz:$n$

$$E[Y_n] = \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}\Big[\sum_{i=1}^n X_i\Big]f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$$

ve kullanma integrallerin doğrusallık biz içine ayrıştırmak

$$= \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n \; + ...\\ ...+\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_nf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$$

Her iteratif integral için, entegrasyon sırasını yeniden düzenleyebiliriz, böylece her birinde dış entegrasyon, eklem yoğunluğunun dışındaki değişkene göre olur. Yani,$n$

$$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n = \\\int_{S_{X_1}}x_1\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_2}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_2...dx_ndx_1$$

ve genel olarak

= ∫ S

$$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_j}}...\int_{S_{X_1}}x_jf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_j...dx_n =$$ $$=\int_{S_{X_j}}x_j\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_{j-1}}}\int_{S_{X_{j+1}}}...\int_{S_{X_1}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_{j-1}dx_{j+1}......dx_ndx_j$$

Her yinelemeli integralde (içeriden başlayarak) integrali tek tek hesapladığımız için, bir değişkeni "bütünleştirir" ve her adımda diğer değişkenlerin "eklem-marjinal" dağılımını elde ederiz. Her n- yinelemeli integral bu nedenle ∫ S X j x j f X j ( x j ) d x j olarak sonuçlanacaktır .$n$$n$$\int_{S_{X_j}}x_jf_{X_j}(x_j)dx_j$

Hepsini bir araya getirerek ulaşıyoruz

$$E[Y_n ] = E[\sum_{i=1}^n X_i] = \int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1}(x_1)dx_1 +...+\int_{S_{X_n}}x_nf_{X_n}(x_n)dx_n$$

Ama şimdi her basit integral her rastgele değişkenin ayrı ayrı beklenen değeridir, yani

= n ∑ i = 1 E ( X i

$$E[\sum_{i=1}^n X_i] = E(X_1) + ...+E(X_n)$$ $$= \sum_{i=1}^nE(X_i)$$

Rastgele değişkenlerin bağımsızlığını ya da bağımsızlığını asla başlatmadığımızı, ancak yalnızca ortak dağılımlarıyla çalıştığımızı unutmayın.