Bir popülasyonun medyanı nasıl test edilir?

250 birimden bir örnek aldım. Dağılım asimetriktir. Nüfusun medyanının 3.5'ten farklı olduğuna dair bir hipotezi test etmek istiyorum, bu yüzden tek örneklem testinin uygun olacağını düşünüyorum. Wilcoxon rank testinin uygun olmadığını biliyorum çünkü dağılım simetrik değil. İşaret testi kullanılmaya uygun mu? Değilse, başka bir test önerebilir mi?

özet

Aşan veri sayısı $3.5$ olasılığı bilinmeyen bir Binom dağılımı var $p$. Binom testi için$p=1/2$ alternatife karşı $p\ne 1/2$.

Bu yazının geri kalanı altta yatan modeli açıklar ve hesaplamaların nasıl yapılacağını gösterir. RBunları gerçekleştirmek için çalışma kodu sağlar . Altta yatan hipotez testi teorisinin Uzatılmış hesap sağlanır cevabım "istatistiksel testlerde p-değerleri ve t-değerlerinin anlamı nedir?" .

İstatistiksel model

Değerlerin makul derecede farklı olduğu varsayılarak ( $3.5$), sonra sıfır hipoteziniz altında, rastgele örneklenmiş herhangi bir değerin $1/2=50\%$ aşma şansı $3.5$ (dan beri $3.5$popülasyonun orta değeri olarak karakterize edilir). Tümü varsayarsak$250$ değerler rastgele ve bağımsız olarak örneklendi, bunların sayısı aşıldı $3.5$ bu nedenle bir Binom'a sahip olacak$(250,1/2)$dağılımı. Bu numaraya "sayım" diyelim.$k$.

Öte yandan, eğer nüfus medyanı $3.5$, rastgele örneklenmiş bir değerin $3.5$ farklı olacak $1/2$. Alternatif hipotez budur.

Uygun bir test bulma

Sıfır durumu alternatiflerinden ayırmanın en iyi yolu, $k$büyük olasılıkla sıfırın altında olan ve alternatifler altında daha az olası olan Bunlar yakınındaki değerler$1/2$ nın-nin $250$, eşittir $125$. Bu nedenle, testiniz için kritik bir bölge nispeten uzaktaki değerlerden oluşur.$125$: yakın $0$ veya yakın $250$. Ama ne kadar uzak$125$ önemli kanıtlar oluşturmalılar mı? $3.5$ nüfus medyan değil mi?

Önem standardınıza bağlıdır: buna test boyutu denir , genellikle$\alpha$. Sıfır hipotezi altında, bir$\alpha$ şans $k$ kritik bölgede olacak.

Normalde, hangi alternatifin uygulanacağı konusunda önyargılarımız olmadığında - bir medyan daha büyük veya daha az $3.5$- kritik bölgeyi bu şansın yarısı olacak şekilde inşa etmeye çalışıyoruz, $\alpha/2$, bu $k$ düşük ve diğer yarısı, $\alpha/2$, bu $k$yüksektir. Çünkü dağıtımını biliyoruz$k$ sıfır hipotezi altında, bu bilgi kritik bölgeyi belirlemek için yeterlidir.

Teknik olarak, hesaplamayı yapmanın iki yaygın yolu vardır: Binom olasılıklarını hesaplayın veya Normal bir dağılımla yaklaşık olarak hesaplayın.

Binom olasılıkları ile hesaplama

Yüzde nokta (kantil) işlevini kullanın. In RÖrneğin, bu denir qbinomve benzeri çağrılan olacak

alpha <- 0.05 # Test size
c(qbinom(alpha/2, 250, 1/2)-1, qbinom(1-alpha/2, 250, 1/2)+1)

İçin çıktı $\alpha=0.05$ dır-dir

109 141

Bu, kritik bölgenin tüm düşük değerleri içerdiği anlamına gelir. $k$ arasında (ve dahil) $0$ ve $109$, tüm yüksek değerleriyle birlikte $k$ arasında (ve dahil) $141$ ve $250$. Bir kontrol olarak, null doğru olduğunda o bölgede yatma Rşansını hesaplamayı isteyebiliriz k:

pbinom(109, 250, 1/2) + (1-pbinom(141-1, 250, 1/2))

Çıktı $0.0497$, çok yakın - ama daha büyük değil-$\alpha$kendisi. Kritik bölge bir tam sayı ile bitmesi gerektiğinden, bu gerçek test boyutunu tam olarak nominal test boyutuna eşit yapmak genellikle mümkün değildir$\alpha$ancak bu durumda iki değer gerçekten çok yakındır.

Normal yaklaşımla hesaplama

Bir Binomun ortalaması$(250, 1/2)$ dağıtım $250\times 1/2=125$ ve varyansı $250\times 1/2\times (1-1/2) = 250/4$, standart sapmasını eşit $\sqrt{250/4}\approx 7.9$. Binom dağılımını Normal dağılımla değiştireceğiz. Standart Normal dağılım$\alpha/2=0.05/2$ olasılıktan daha az $-1.95996$, Rkomut tarafından hesaplandığı gibi

qnorm(alpha/2)

Normal dağılımlar simetrik olduğu için $0.05/2$ olasılıktan daha büyük $+1.95996$. Bu nedenle kritik bölge,$k$ daha fazlası $1.95996$ standart sapmalar $125$. Bu eşikleri hesaplayın: eşitler$125 \pm 7.9\times 1.96 \approx 109.5, 140.5$. Hesaplama,

250*1/2 + sqrt(250*1/2*(1-1/2)) * qnorm(alpha/2) * c(1,-1)

Dan beri $k$ tam sayı olması gerektiğinde kritik bölgeye düşeceğini görüyoruz. $109$ veya daha az veya $141$veya daha büyük. Bu cevap, tam Binom hesaplaması kullanılarak elde edilen cevapla aynıdır. Bu durum genellikle$p$ daha yakın $1/2$ olduğundan daha $0$ veya $1$, örnek boyutu orta ila büyük (onlarca veya daha fazla) ve $\alpha$ çok küçük değil (yüzde birkaç).

Bu test, popülasyonla ilgili hiçbir şey varsaymadığı için (medyanına odaklanmış çok fazla olasılık bulunmaması dışında), popülasyon hakkında spesifik varsayımlar yapan diğer testler kadar güçlü değildir. Test yine de null değerini reddederse, güç eksikliğinden endişelenmenize gerek yoktur. Aksi takdirde, üstlenmeye istekli olduğunuz ve nüfus hakkında sonuçlandırabileceğiniz şeyler arasında bazı hassas ödünleşmeler yapmalısınız .