Bir torbadaki meyve kütlesini sadece ilgili toplamlardan tahmin et?

Üniversitemdeki bir eğitmen böyle bir soru sordu (ders bittiği için ben ödev için değil). Nasıl yaklaşacağımı anlayamıyorum.

Soru, her biri farklı meyve çeşitleri içeren 2 torba ile ilgilidir:

İlk çanta aşağıdaki rastgele seçilmiş meyveleri içerir:

+ ------------- + -------- + --------- +
| çap cm | kütle g | çürük? |
+ ------------- + -------- + --------- +
| 17.28 | 139.08 | 0 |
| 6.57 | 91,48 | 1 |
| 7.12 | 74,23 | 1 |
| 16.52 | 129.8 | 0 |
| 14.58 | 169.22 | 0 |
| 6.99 | 123.43 | 0 |
| 6.63 | 104.93 | 1 |
| 6.75 | 103.27 | 1 |
| 15.38 | 169.01 | 1 |
| 7.45 | 83,29 | 1 |
| 13.06 | 157.57 | 0 |
| 6.61 | 117.72 | 0 |
| 7.19 | 128,63 | 0 |
+ ------------- + -------- + --------- +

İkinci torba, birinci torba ile aynı mağazadan rastgele seçilen 6 meyve içerir. Çaplarının toplamı 64,2 cm ve 4'ü çürümüş.

İkinci torbanın kütlesi için bir tahmin verin.

Normal olarak dağılmış çap ve kütlelere sahip iki farklı tür meyve olduğunu görebiliyorum, ancak nasıl ilerleyeceğim konusunda kayboldum.

Verileri çizerek başlayalım ve bir göz atalım. Bu çok sınırlı miktarda veri olduğundan, bol miktarda varsayımla bir miktar geçici olacak.

rotten <- c(0,1,1,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0)
rotten <- as.factor(rotten)
mass <- c(139.08, 
        91.48,
        74.23,
        129.8,
        169.22,
        123.43,
        104.93,
        103.27,
        169.01,
        83.29,
        157.57,
        117.72,
        128.63)
diam <- c(17.28,
        6.57,
        7.12,
        16.52,
        14.58,
        6.99,
        6.63,
        6.75,
        15.38,
        7.45,
        13.06,
        6.61,
        7.19)

plot(mass,diam,col=rotten,lwd=2)
title("Fruits")

Veriler bu, kırmızı noktalar çürük meyveleri temsil ediyor:

İki çeşit meyve olduğunu varsayarak haklısınız. Yaptığım varsayımlar şunlardır:

• Çap meyveleri iki gruba ayırır
• Çapı 10'dan büyük olan meyveler bir grupta, diğerleri küçük gruptadır.
• Büyük meyve grubunda sadece bir çürük meyve var. Bir meyvenin büyük grupta olması durumunda, çürük olmanın ağırlığı etkilemediğini varsayalım. Bu önemlidir, çünkü bu grupta sadece bir veri noktamız vardır.
• Meyve küçük bir meyvedirse, çürük olmak kütleyi etkiler.
• Diam ve kütle değişkenlerinin normal olarak dağıldığını varsayalım.

Çapın toplamının 64,2 cm olduğu verildiği için, iki meyvenin büyük ve dörtünün küçük olması muhtemeldir. Şimdi ağırlık için 3 vaka var. Çürümüş 2, 3 veya 4 küçük meyve vardır (çürümüş büyük bir meyve, varsayımla kütleyi etkilemez ). Böylece, bu değerleri hesaplayarak kütleniz üzerinde sınırlar elde edebilirsiniz.

Çürük küçük meyve sayısının olasılığını ampirik olarak tahmin edebiliriz. Çürük meyve sayısına bağlı olarak kitle tahminlerimizi ağırlıklandırmak için olasılıkları kullanırız:

samps <- 100000
stored_vals <- matrix(0,samps,2)
for(i in 1:samps){
  numF <- 0 # Number of small rotten
  numR <- 0 # Total number of rotten
  # Pick 4 small fruits
  for(j in 1:4){
    if(runif(1) < (5/8)){ # Empirical proportion of small rotten
      numF <- numF + 1
      numR <- numR + 1
    } 
  }
  # Pick 2 large fruits
  for(j in 1:2){
    if(runif(1) < 1/5){# Empirical proportion of large rotten
      numR <- numR + 1
    }
  }
  stored_vals[i,] <- c(numF,numR)
}

# Pick out samples that had 4 rotten
fourRotten <- stored_vals[stored_vals[,2] == 4,1]
hist(fourRotten)

table(fourRotten)

# Proportions 
props <- table(fourRotten)/length(fourRotten)

massBig <- mean(mass[diam>10])
massSmRot <- mean(mass[diam<10 & rotten == 1])
massSmOk <- mean(mass[diam<10 & rotten == 0])

weights <- 2*massBig + c(2*massSmOk+2*massSmRot,1*massSmOk+3*massSmRot,4*massSmRot)

Est_Mass <- sum(props*weights) 

Bize 691.5183g son bir tahmin veriyoruz . Bir sonuca varmak için yaptığım varsayımların çoğunu yapmak zorunda olduğunuzu düşünüyorum, ancak bence bunu daha akıllı bir şekilde yapmak mümkün olabilir. Ayrıca çürük küçük meyvelerin sayısının olasılığını elde etmek için ampirik olarak örnek alıyorum, bu sadece tembellik ve "analitik olarak" yapılabilir.

Aşağıdaki yaklaşımı öneririm:

1. 4 çürük koşulları karşılayan tüm 6-tuples oluşturun. Onlar${6\choose 4}{7\choose 2}$.
2. Oluşturulan tüplerden sadece çaptaki koşulu karşılayanlar arasından seçim yapın.
3. Seçilen tupllerin ortalama ağırlığını hesaplayın (normal aritmetik ortalama).

Tüm bunlar basit bir komut dosyası tarafından yönetilebilir.

En basitinden karmaşık olana kadar,

1. 6 (ortalama kütle)
2. 6 (ortalama hacim) (ortalama yoğunluk)
3. 4 (ortalama çürümüş kütle) + 2 (ortalama çürümüş kütle)
4. 4 ((ortalama çürümüş hacim) + 2 (ortalama çürümüş olmayan hacim)) (ortalama yoğunluk)
5. 4 (ortalama çürük hacim) (ortalama çürük yoğunluk) + 2 (ortalama çürük olmayan hacim) (ortalama çürük olmayan yoğunluk)

. . .

kombinatorik yöntemler

Yaklaşımlar, herhangi bir yaklaşımın daha iyi olması ya da hiç bir yararı olması açısından değil, hesaplamanın basitliği sırasına göre düzenlenmiştir. Hangi yaklaşımın kullanılacağının seçilmesi, popülasyonun hangi özelliklerinin bilindiğine veya varsayıldığına bağlıdır. Örneğin, mağaza popülasyonundaki meyve kütleleri normal olarak dağılmışsa ve çaplardan ve çürük durumundan bağımsızsa, daha karmaşık yaklaşımlar kullanmanın herhangi bir avantajı (veya çoklu değişkenlerin örnekleme hatasının dezavantajları) olmadan ilk, en basit yaklaşımı kullanabilir. . Bağımsız olarak aynı dağılmamış rasgele değişkenler değilse, popülasyon hakkında bilinen veya varsayılan bilgilere bağlı olarak daha karmaşık bir seçim daha iyi olabilir.