Nasıl bulmak için olduğunda bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olduğunu?

Bunu Nasıl Çözebilirim? Ara denklemlere ihtiyacım var. Belki de cevap . $-tf(x)$

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x]

$\frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ]$

$f(x)$ olasılık yoğunluk fonksiyonudur.

Yani, ve $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = 0$ $\lim\limits_{x \to \infty} F(x) = 1$

kaynak: http://www.actuaries.jp/lib/collection/books/H22/H22A.pdf s.40

Aşağıdaki ara denklemleri deneyin:

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x] = \frac{d}{d t} [{[x F (x)]}_{t}^{\infty} - \int_{t}^{\infty} F (x) d x] ? ?

$\frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ] = \frac{d}{dt} \left [\left [xF(x) \right ]_t^\infty - \int_t^\infty F(x)\,dx \right ]??$

\frac{d}{d t} \int_{t}^{a} f (x) d x = - \frac{d}{d t} \int_{a}^{t} f (x) d x = - \frac{d}{d t} (F (t) - F (a)) = F^{'} (t) = f (t)

$\frac{d}{dt} \int_t^a f(x)\,dx = -\frac{d}{dt} \int_a^t f(x)\,dx = -\frac{d}{dt} (F(t)-F(a))=F'(t)=f(t)$

— Hiroaki Machida
kaynak

mu demek istediniz ? BelkiYoksa mu ?

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x]

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ]$

- t f (t) .

$-tf(t).$

\frac{d}{d t} [\frac{\int_{t}^{\infty} x f (x) d x}{1 - F (t)}]

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\dfrac{\int_t^\infty xf(x)~dx}{1-F(t)} \right ]$

— Henry

Analizin temel teoremini kullanın

— Henry

arasında bir ilkel düşünün , sonra türetmek kolaydır.

G

$G$

x \mapsto x f (x)

$x \mapsto xf(x)$

\int_{t}^{\infty} x f (x) d x = G (\infty) - G (t)

$\int_t^\infty xf(x)dx=G(\infty)-G(t)$

— Stéphane Laurent

Lütfen self-studyetiketi ekleyin ve etiket wiki'sini okuyun .

— Glen_b

Bir sınav için çalışıyorsanız, size tam çözümü vermek yapılacak şey değildir. Kendi kendine çalışma soruları, sorunu soran kişiye sorunu kendi başına çözmeyi getirmeyi amaçlar.

— Xi'an

Yanıtlar:

Tanım olarak, türev ( varsa ), fark bölümünün sınırıdır

\frac{1}{h} (\int_{t + h}^{\infty} x f (x) d x - \int_{t}^{\infty} x f (x) d x) = - \frac{1}{h} \int_{t}^{t + h} x f (x) d x

$\frac{1}{h}\left(\int_{t+h}^\infty x f(x) dx - \int_t^\infty x f(x) dx\right) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx$

olarak . $h\to 0$

Varsayıldığında bir aralık içinde sürekli yeterince küçük için , de bu aralık boyunca sürekli olacaktır. Sonra Ortalama Değer Teoremi , ile arasında bazı olduğunu varsayar ; $f$ $[t, t+h)$ $h\gt 0$ $x f$ $h^{*}$ $0$ $h$

- (t + h^{*}) f (t + h^{*}) = - \frac{1}{h} \int_{t}^{t + h} x f (x) d x .

$-(t+h^{*})f(t+h^{*}) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx.$

Olarak , zorunlu olarak ve sürekliliği yakın sonra da sol taraftaki bir sınırı vardır anlaşılacağı üzere eşit . $h\to 0$ $h^{*}\to 0$ $f$ $t$ $-t f(t)$

(Bu analizin, orijinal uygunsuz integral varlığı hakkında hiçbir gerekçe gerektirmediğini görmek güzel .) $\int_t^\infty x f(x) dx$

Bununla birlikte, bir dağılımın yoğunluğu olsa bile , bu yoğunluğun sürekli olması gerekmez. Süreksizlik noktalarında, fark katsayısının farklı sol ve sağ sınırları olacaktır: türev burada mevcut değildir. $f$

Bu, uygulayıcıların göz ardı edebileceği bazı matematiksel "patoloji" olarak reddedilebilecek bir mesele değildir. Birçok yaygın ve kullanışlı dağıtımın PDF'lerinde süreksizlik noktaları vardır. Örneğin, Düzgün dağılımının ve süreksiz PDF vardır ; bir Gamma dağılımının (her yerde Üstel dağılım ve bazı dağılımlarını içeren) olduğunda kesintili bir PDF vardır ; ve bunun gibi. Bu nedenle, dikkatli bir nitelik olmadan, cevabın sadece olduğunu iddia etmemek önemlidir : bu bir hata olacaktır. $(a,b)$ $a$ $b$ $(a,b)$ $0$ $a\le 1$ $\chi^2$ $-t f(t)$

— whuber
kaynak

Çok küçük bir zeyilname: sürekli olmasa bile integralin farklılaşabileceği durumlar vardır . Let için ve için ve için . Sonra 0 civarında, için ve için , mükemmel şekilde ayırt edilebilir .

f (x)

$f(x)$

f (x) = 0

$f(x)=0$

x \leq 0

$x\leq 0$

f (x) = 1

$f(x)=1$

0 < x < 1

$0<x<1$

f (x) = 0

$f(x)=0$

x \geq 2

$x\geq 2$

F (x) = x^{2} / 2

$F(x)=x^2/2$

x \geq 0

$x\geq 0$

x < 0

$x<0$

x = 0

$x=0$

— Alex

@Alex Yakınında , , 2/2 değil . Analizin Temel Teoremini düşünün.

0^{+}

$0^{+}$

F (x) = x

$F(x)=x$

x^{2} / 2

$x^2/2$

— whuber

Karışıklık için özür dilerim! tanımlıyorum .

F (x) := \int_{- \infty}^{x} t f (t) d t

$F(x) := \int_{-\infty}^x tf(t)dt$

— Alex

@Alex İntegral sıfıra yakın sürekli olduğundan, ne tür bir örnek sunduğunuzu veya neyi gösterdiğini göremiyorum.

t f (t)

$tf(t)$

— whuber

Büyük türev (+1) - bu sonucun Leibniz integral kuralının bir örneği olduğu hiçbir şeye değmeyebilir .

— Ben - Monica

Çözüldü ...

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty)-G(t) \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty) \right ] - \dfrac{d}{dt} \left [G(t) \right ]$ $= \displaystyle 0-tf(t)$

Hepinize teşekkür ederim!!!

— Hiroaki Machida
kaynak

Ne fonksiyonu? türevi neden 0?

G (t)

$G(t)$

G (\infty)

$G(\infty)$

— Vladislavs Dovgalecs