2.2a.16 “Sağlam İstatistikler: Etki Fonksiyonlarına Dayalı Yaklaşım” uygulamasının çözümü

Sağlam İstatistikler'nin 180. sayfasında : Etki Fonksiyonlarına Dayalı Yaklaşım aşağıdaki soruyu bulur:

16: Konum değişmez tahmin ediciler için her zaman olduğunu gösterin . Her ikisi de tek veya çift olduğu durumda , sonlu örnek parçalama noktası ilgili üst sınırı bulun . $\varepsilon^*\leq\frac{1}{2}$ $\varepsilon^*_n$ $n$ $n$

İkinci kısım (noktadan sonra) aslında önemsizdir (birincisi verilir) ama sorunun ilk kısmını (cümle) kanıtlamanın bir yolunu bulamıyorum.

Kitabın bu soru ile ilgili bölümünde bir kişi bulunur (s98):

Tanım 2: Numunedeki bir tahminci sonlu örnek dökümü noktası şu şekilde verilir: $\varepsilon^*_n$ $T_n$ $(x_l,\ldots, x_n)$

$ε_{n}^{*} (T_{n}; x_{i}, \dots, x_{n}) := \frac{1}{n} max {m : max_{i_{1}, \dots, i_{m}} sup_{y_{1}, \dots, y_{m}} | T_{n} (z_{1}, \dots, z_{n}) | < \infty}$ $\varepsilon^*_n(T_n;x_i,\ldots,x_n):=\frac{1}{n}\max\{m:\max_{i_1,\ldots,i_m}\sup_{y_1,\ldots,y_m}\;|T_n(z_1,\ldots,z_n)|<\infty\}$
Örnek burada $(z_1,\ldots,z_n)$ değiştirilmesi ile elde edilir $m$ veri noktası $x_{i_1},\ldots,x_{i_m}$ rasgele değerleri $y_1,\ldots,y_m.$

Biçimsel tanımı kendisi neredeyse bir sayfa için çalışır, ancak olarak düşünülebilir açıkça tanımlanmamış olmakla birlikte, biri o yere değişmeyen araçları tahmin edebilirsiniz uygun olmalıdır $\varepsilon^*$

ε^{*} = lim_{n \to \infty} ε_{n}^{*}

$\varepsilon^*=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\varepsilon^*_n$

T_{n}

$T_n$

T_{n} (x_{1}, \dots, x_{n}) = T_{n} (x_{1} + c, \dots, x_{n} + c), for all c \in R

$T_n(x_1,\ldots,x_n)= T_n(x_1+c,\ldots,x_n+c), \text{ for all } c\in \Bbb{R}$

Aşağıdaki yorumda whuber'ın sorusunu cevaplamaya çalışıyorum. Kitap, başlayarak tahmin edici birkaç sayfa olduğunu tanımlar , ana bölümleri yeniden oluşturmaya çalışırım (whuber'ın sorusunu cevaplayacağını düşünüyorum): $T_n$

Bağımsız ve aynı şekilde dağıtılmış (iid) tek boyutlu gözlemlerimiz olduğunu X_n) varsayalım. Gözlemler , gerçek satırın alt kümesi olan bazı örnek uzay a aittir (genellikle sadece eşittir , bu nedenle gözlemler herhangi bir değeri alabilir ). Bir parametrik model , bilinmeyen parametrenin bir parametre alanına ait olduğu örnek alanında olasılık dağılımları ailesinden oluşur $(X_1,\ldots,X_n)$ $\mathcal{H}$ $\mathbb{R}$ $\mathcal{H}$ $\mathbb{R}$ $F_\theta$ $\theta$ $\Theta$

...

Numuneyi ampirik dağılımı ile tespit ediyoruz ve gözlemlerin sırasını göz ardı (neredeyse her zaman olduğu gibi). Resmi olarak, , burada , 1 nokta kütlesidir . tahmincisi olarak , gerçek değerli istatistikleri . Daha geniş bir anlamda, bir tahminci, her olası örnek boyutu için bir tane olmak üzere bir istatistik dizisi . İdeal olarak, gözlemler parametrik modelin bir üyesine göre yapılır $(X_1,\ldots,X_n)$ $G_n$ $G_n$ $(1/n)\sum_{i=1}^n\Delta_{x_i}$ $\Delta_{X}$ $X$ $\theta$ $T_n=T_n(X_1,\ldots,X_n)=T_n(G_n)$ $\{T_n,n\geq 1\}$ $n$ $\{F_\theta;\theta\in\Theta\}$ ama sınıf olası tüm olasılık dağılımlarının çok daha büyüktür. $\mathcal{F}(\mathcal{H})$ $\mathcal{H}$

Tüm ve için fonksiyonel olan [yani ] veya asimptotik olarak fonksiyonellerle değiştirilebilen tahmin edicileri dikkate . Bu demektir ki bir işlevsel var olduğunu varsayalım ki etki alanı [ bütün dağılımlar kümesidir olan ] olacak şekilde tanımlanır olasılık gözlemler gerçek dağılımına göre iid içinde . diyoruz $T_n(G_n)=T(G_n)$ $n$ $G_n$ $T:\mbox{domain}(T)\rightarrow\mathbb{R}$ $T$ $\mathcal{F}(\mathcal{H})$ $T$
$T_{n} (X_{1}, \dots, X_{n}) \underset{n \to \infty}{\to} T (G)$ $T_n(X_1,\ldots,X_n)\underset{n\rightarrow\infty}{\rightarrow}T(G)$ $G$ $\mbox{domain}(T)$ $T(G)$ asimptotik bir değerdir de . $\{T_n;n\geq 1\}$ $G$

...

: Bu bölümde, her zaman çalışma kapsamında işlevselleri Fisher tutarlı (Kallianpur ve Rao, 1955) olduğunu kabul hangi vasıta o model tahmin edicinin olarak doğru miktarı ölçer. Fisher kıvamı kavramı, normal kıvam veya asimptotik tarafsızlıktan daha fazla fonksiyonel ve şıktır.
$T (F_{θ}) = θ for all θ \in Θ$ $T(F_\theta)=\theta\;\mbox{ for all } \theta\in\Theta$ $\{T_n;n\geq 1\}$

self-study robust

— user603
kaynak

Bu kitap "tahmin ediciyi" tam olarak nasıl tanımlıyor? Bana öyle geliyor ki, herhangi bir sınırlı tahminci bir kırılma noktası , bu yüzden kesinlikle tür özel kısıtlamalar ; ve her zaman sınırlı yer-değişmez tahmin ediciler vardır (sabitleri içereceklerdir).

T_{n}

$T_n$

1

$1$

T_{n}

$T_n$

— whuber

Genişletilmiş malzeme için teşekkürler. Hala çok sayıda karşı örnek var gibi görünüyor. Basit bir tane, normal varyans dağılımlarının tek parametreli ailesi için sabit tahmincisidir . Bu, varyansın konum değişmez bir tahmincisidir. Kırılma noktası . Fisher tutarlı (önemsiz), ama tanımı dikkatle yorumlamak gerekir: " " mutlaka tüm parametrelere başvuramaz, o zaman hiçbir yer değişmez tahminci tutarlı olamaz!

T_{n} (X_{1}, \dots, X_{n}) = 1

$T_n(X_1,\ldots,X_n)=1$

1

$1$

1

$1$

θ

$\theta$

— whuber

@whuber: Teşekkürler, karşı örneğinizi anlıyorum. Sanırım yazara ulaşacağım ve daha fazla bilgi isteyeceğim ...

— user603

Eski istatistik kitaplarında "değişmez" ifadesi beklenenden biraz farklı bir şekilde kullanılmıştır; belirsiz terminoloji devam eder. Daha modern bir eşdeğer "eşdeğerdir" (bu yazının sonundaki referanslara bakın). Mevcut bağlamda

T_{n} (X_{1} + c, X_{2} + c, \dots, X_{n} + c) = T_{n} (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}) + c

$T_n(X_1+c,X_2+c,\ldots,X_n+c) = T_n(X_1,X_2,\ldots,X_n) + c$

tüm gerçekler için . $c$

Soruyu ele almak için, yeterince büyük , tümü gerçek ve tüm , $T_n$ $n$ $c$ $m \le \varepsilon^{*}n$

| T_{n} (X + Y) - T_{n} (X) | = o (| c |)

$|T_n(\mathbf{X + Y}) - T_n(\mathbf{X})| = o(|c|)$

, dan en fazla koordinatında en fazla kadar farklı olduğunda . $\mathbf Y$ $\mathbf{X}$ $c$ $m$

(Bu, bozulma sınırının tanımında varsayıldığından daha zayıf bir durumdur. Aslında, varsaymamız gereken tek şey, yeterince büyük olduğunda, " " ifadesinin, boyutunda.) $n$ $o(|c|)$ $|c|/2$

Kanıt çelişkilidir. Buna göre, bu de eşdeğer olduğunu ve olduğunu varsayalım . Sonra yeterince büyük , , hem hem de . Gerçek sayılar için tanımla $T_n$ $\varepsilon^{*} \gt 1/2$ $n$ $m(n) = \lfloor \varepsilon^{*}n\rfloor$ $m(n)/n \le \varepsilon^{*}$ $(n-m(n))/n \le \varepsilon^{*}$ $a,b$

t_{n} (a, b) = T_{n} (a, a, \dots, a, b, b, \dots, b)

$t_n(a, b) = T_n(a, a, \ldots, a,\ b, b, \ldots, b)$

burada 've ' ler vardır. Değiştirerek koordinat veya daha az her iki sonucuna $m(n)$ $a$ $n-m(n)$ $b$ $m(n)$

| t (a, b) - t (0, b) | = o (| a |)

$|t(a,b) - t(0,b)| = o(|a|)$

| t (a, b) - t (a, 0) | = o (| b |) .

$|t(a,b) - t(a,0)| = o(|b|).$

İçin üçgen eşitsizliği iddia $c\gt 0$

\begin{aligned} c = | t_{n} (c, c) - t_{n} (0, 0) | & \leq | t_{n} (c, c) - t_{n} (c, 0) | + | t_{n} (c, 0) - t_{n} (0, 0) | \\ = o (c) + o (c) \\ < c / 2 + c / 2 \\ = c \end{aligned}

$\eqalign{ c = |t_n(c, c) - t_n(0, 0)| &\le |t_n(c, c) - t_n(c, 0)| + |t_n(c, 0) - t_n(0,0)| \\&= o(c) + o(c) \\&\lt c/2 + c/2 \\ &= c}$

Sondan bir önceki hattaki katı eşitsizlik, yeterince büyük . Çelişki, , olduğunu kanıtlar $n$ $c \lt c$ $\varepsilon^{*} \le 1/2.$

Referanslar

EL Lehmann, Nokta Tahmin Teorisi . John Wiley 1983.

Metinde (bölüm 3, bölüm 1) ve beraberindeki dipnotta Lehmann yazıyor

sağlayan tüm için bir tahminci eşdeğer olarak adlandırılır ... $\delta(X_1+a, \ldots, X_n+a) = \delta(X_1,\ldots,X_n)+a$ $a$

Bazı yazarlar bu tür tahmin edicilere "değişmez" derler. Bu, tahmin altında değişmeden kaldığını düşündürdüğünden, bu terimi tüm için değerini karşılayan işlevler için ayırmak tercih edilir . $X_i^\prime = X_i+a$ $u(x+a)=u(x)$ $x,a$

— whuber
kaynak

Evet, kullanılan değişmezliğin gerçek tanımı hakkında aynı soru ile kitabın ana yazarı ile temasa geçtim (dizine baktım ve kitapta açıkça bulamadım). Kaldırdım çünkü cevabınızın doğru olduğunu düşünüyorum, ancak yazara kabul etmeden önce emin olmak için birkaç gün vereceğim.

— user603

Yazardan bir cevap almadım ama yukarıda sunulan argümanlar (cevapta ve yorumda) bunun gerçekten sorunun doğru yorumu olması gerektiğine ikna etti.

— user603