Olabilirlik işlevi nasıl hesaplanır

3 elektronik bileşenin ömrü $X_{1} = 3, X_{2} = 1.5,$ ve $X_{3} = 2.1$ . Rasgele değişkenler, parametre ile üstel dağılımdan 3 boyutlu rastgele bir örnek olarak modellenmiştir. $\theta$ . Olabilirlik işlevi, $\theta > 0$

$f_{3}(x|\theta) = \theta^{3} exp(-6.6\theta)$ , nerede $x = (2, 1.5, 2.1)$ .

Ve sonra sorun, MLE'nin değerini bularak $\theta$ en üst düzeye çıkarmak $log f_{3}(x|\theta)$ . Sorum şu: Olabilirlik fonksiyonunu nasıl belirlerim? Üstel dağılımın pdf'sine baktım, ama farklı. Peki, olasılık fonksiyonu her zaman bana bir problemde mi verildi? Yoksa kendim mi belirlemeliyim? Öyleyse nasıl?

distributions maximum-likelihood exponential

— Adrian
kaynak

Neden sadece 3 gözlemle olabilirlik tahmini yapmak istiyorsunuz? Elde ettiğiniz tahmin

θ

$\theta$ önyargılı olacak ve çok fazla varyansa sahip olacak. HW mı?

— Zachary Blumenfeld

Olasılığın tanımının ne olduğunu biliyor musunuz?

— Glen_b

Bir örneğin olabilirlik fonksiyonu, ilgili rastgele değişkenlerin ortak yoğunluğudur, ancak bu rastgele değişkenlerden yapılan belirli bir gerçekleştirme örneği verildiğinde bilinmeyen parametrelerin bir fonksiyonu olarak görülür.

Sizin durumunuzda, buradaki varsayımın, bu elektronik bileşenlerin ömrünün her birinin (yani marjinal dağılımına sahip olduğu), aynı oran parametresiyle üstel bir dağılım olduğu anlaşılmaktadır. $\theta$ ve böylece marjinal PDF:

f_{X_{i}} (x_{i} ∣ θ) = θ e^{- θ x_{i}}, i = 1, 2, 3

$f_{X_i}(x_i\mid \theta) = \theta e^{-\theta x_i}, \;\; i=1,2,3$

Ayrıca, her bir bileşenin yaşamının diğerlerinin yaşamından tamamen bağımsız olduğu görülmektedir. Böyle bir durumda, eklem yoğunluğu fonksiyonu üç yoğunluğun ürünüdür,

f_{X 1, X 2, X 3} (x_{1}, x_{2}, x_{3} ∣ θ) = θ e^{- θ x_{1}} \cdot θ e^{- θ x_{2}} \cdot θ e^{- θ x_{3}} = θ^{3} \cdot \exp {- θ \sum_{i = 1}^{3} x_{i}}

$f_{X1,X2,X3}(x_1,x_2,x_3\mid \theta) = \theta e^{-\theta x_1} \cdot \theta e^{-\theta x_2}\cdot \theta e^{-\theta x_3} = \theta^3\cdot \exp{\left\{-\theta \sum_{i=1}^3x_i\right\}}$

Bunu numunenin olabilirlik fonksiyonuna dönüştürmek için, $\theta$ belirli bir örneği verildi $x_i$ 'S.

L (θ ∣ {x_{1}, x_{2}, x_{3}}) = θ^{3} \cdot \exp {- θ \sum_{i = 1}^{3} x_{i}}

$L(\theta \mid \{x_1,x_2,x_3\}) = \theta^3\cdot \exp{\left\{-\theta \sum_{i=1}^3x_i\right\}}$

where only the left-hand-side has changed, to indicate what is considered as the variable of the function. In your case the available sample is the three observed lifetimes $\{x_1 = 3, x_2 =1.5, x_3 = 2.1\}$ , and so $\sum_{i=1}^3x_i = 6.6$ . Then the likelihood is

L (θ ∣ {x_{1} = 3, x_{2} = 1.5, x_{3} = 2.1}) = θ^{3} \cdot \exp {- 6.6 θ}

$L(\theta \mid \{x_1 = 3, x_2 =1.5, x_3 = 2.1\}) = \theta^3\cdot \exp{\left\{-6.6\theta \right\}}$

In other words, in the likelihood you were given, the specific sample available has been already inserted in it. This is not usually done, i.e. we usually "stop" at the theoretical representation of the likelihood for general $x_i$ 's, we then derive the conditions for its maximization with respect to $\theta$ , and then we plug into the maximization conditions the specific numerical sample of $x$ -values, in order to obtain a specific estimate for $\theta$ .

Admittedly though, looking at the likelihood like this, may make more clear the fact that what matters here for inference (for the specific distributional assumption), is the sum of the realizations, and not their individual values: the above likelihood is not "sample-specific" but rather "sum-of-realizations-specific": if we are given any other $n=3$ sample for which the sum of its elements is again $6.6$ , we will obtain the same estimate for $\theta$ (this is essentially what it means to say that $\sum x$ is a "sufficient" statistic -it contains all information that the sample can provide for inference, under the specific distributional assumption).

— Alecos Papadopoulos
kaynak