Bir aralıkta düzgün bir şekilde dağıtılmış değerler verimli bir şekilde nasıl oluşturulur?

Diyelim ki aralıktan rasgele sayılar kümesi oluşturmak istiyorum (a, b). Oluşturulan dizi, sıralandığı özelliğe de sahip olmalıdır. Bunu başarmanın iki yolunu düşünebilirim.

Izin nvermek oluşturulan dizinin uzunluğu olsun .

1. Algoritma:

Let `offset = floor((b - a) / n)`
for i = 1 up to n:
   generate a random number r_i from (a, a+offset)
   a = a + offset
   add r_i to the sequence r

2. Algoritma:

for i = 1 up to n:
    generate a random number s_i from (a, b)
    add s_i to the sequence s
sort(r)

Benim sorum şu, algoritma 1 algoritma 2 tarafından üretilen diziler kadar iyi diziler üretiyor mu?

İlk algoritma iki nedenden dolayı başarısız olur :

1. zemininin alınması büyük ölçüde azaltabilir. Gerçekten de, b - a < n olduğunda, sıfır olacaktır, size değerleri aynı olan bir set verir!$(a-b)/n$$b-a \lt n$

2. Zemini almadığınızda , ortaya çıkan değerler çok eşit dağıtılır. Örneğin, herhangi bir basit rastgele seçilmiş bir grupta iid üniform arasında (ki dağılımı özellikleri bir = 0 ve b = 1 , orada olduğu) ( 1 - 1 / n ) n ≈ 1 / e ≈ 37 % büyük olmayacak şans üst aralıkta 1 - 1 $n$$a=0$$b=1$$(1-1/n)^n\approx 1/e\approx 37\%$ ila 1 arasındadır . 1. algoritma ile % 100 var$1-1/n$$1$$100\%$maksimumun bu aralıkta olma şansı. Bazı amaçlar için bu süper homojenlik iyidir, ancak genel olarak korkunç bir hatadır, çünkü (a) birçok istatistik mahvolur, ancak (b) nedenini belirlemek çok zor olabilir.

3. Sıralamadan kaçınmak istiyorsanız, bunun yerine bağımsız üstel olarak dağıtılmış değişkenler oluşturun. Kümülatif toplamlarını , toplama bölerek aralığa ( 0 , 1 ) normalleştirin . En büyük değeri düşürün (her zaman 1 olacaktır ). ( A , b ) aralığına yeniden ölçeklendirin .$n+1$$(0,1)$$1$$(a,b)$

Üç algoritmanın hepsinin histogramları gösterilmiştir. (Her biri 1000'in kümülatif sonuçlarını gösterir$1000$ bağımsız değerlik kümenin .) Algoritma 1 için histogramda gözle görülür bir değişiklik olmaması, buradaki sorunu göstermektedir. Diğer iki algoritmadaki değişim, tam olarak ne beklenmesi gerektiği ve rastgele bir sayı üretecinden ihtiyacınız olan şeydir .$n=100$

Birçok fazlası için dağılımı özellikleri bağımsız üniforma simüle yollarını (eğlendirirken), bkz Taklit bir Normal Dağılım gelen çizer kullanarak Üniforma Dağıtım gelen çizer .

İşte Rfigürü üreten kod.

b <- 1
a <- 0
n <- 100
n.iter <- 1e3

offset <- (b-a)/n
as <- seq(a, by=offset, length.out=n)
sim.1 <- matrix(runif(n.iter*n, as, as+offset), nrow=n)
sim.2 <- apply(matrix(runif(n.iter*n, a, b), nrow=n), 2, sort)
sim.3 <- apply(matrix(rexp(n.iter*(n+1)), nrow=n+1), 2, function(x) {
  a + (b-a) * cumsum(x)[-(n+1)] / sum(x)
})

par(mfrow=c(1,3))
hist(sim.1, main="Algorithm 1")
hist(sim.2, main="Algorithm 2")
hist(sim.3, main="Exponential")

İlk algoritma çok eşit aralıklı sayılar üretir

Ayrıca bkz . Düşük tutarsızlık serisi .

$[0;1]$ aynı anda büyük 0,5'ten küçüktür: . Yaklaşımınızla şans 0'dır. Dolayısıyla verileriniz tekdüze değildir .

(Belirtildiği gibi, bu, örneğin tabakalaşma için istenen bir özellik olabilir. Halton ve Sobel gibi düşük tutarsızlık serileri do onların kullanım durumları vardır.)

Uygun ama pahalı bir yaklaşım (gerçek değerler için)

... beta dağıtılmış rasgele sayılar kullanmaktır. Düzgün dağılımın sıralama düzeni istatistiği beta dağılımlıdır. En küçük çizimleri rastgele çizmek için bunu kullanabilirsiniz , sonra ikinci en küçük, ... tekrar .

$[0;1]$$\text{Beta}[1,n]$$n$$1-X\sim \text{Beta}[n, 1]$$-\ln (1-X)\sim \text{Exponential}[n]$$\frac{-\ln(U[0;1])}{n}$

Hangi aşağıdaki algoritmayı verir:

x = a
for i in range(n, 0, -1):
    x += (b-x) * (1 - pow(rand(), 1. / i))
    result.append(x) 

Sayısal dengesizlikler olabilir powve her nesne için hesaplama ve bölme, sıralamadan daha yavaş olabilir.

Tamsayı değerleri için farklı bir dağıtım kullanmanız gerekebilir.

Sıralama inanılmaz derecede ucuz, bu yüzden sadece kullanın

$O(n \log n)$

Ayrıca rastgele sayılarla ne yaptığınıza da bağlıdır. Sayısal entegrasyon problemleri için birinci yöntem (kat operatörünü kaldırarak düzeltildiğinde) üstün nokta kümesi üretecektir. Yaptığınız şey tabakalı örneklemedir ve topaklaşmayı önleme avantajına sahiptir. tüm değerlerinizi örneğin 0- (ba) / n aralığında almak imkansızdır. Diğer uygulamalar için bunun çok kötü olabileceğini söyledi, onunla ne yapmak istediğinize bağlı.