İki bağımsız Düzgün rasgele değişkenli bir ürünün pdf'si

Let ~ U ( 0 , 2 ) ve Y, ~ U ( - 10 , 10 ) belirli bir dağılımına sahip iki bağımsız rastgele değişkenler. V = X Y dağılımı nedir ?$X$$U(0,2)$$Y$$U(-10,10)$$V=XY$

Evrişimi denedim, bunu bilerek

$$h(v) = \int_{y=-\infty}^{y=+\infty}\frac{1}{y}f_Y(y) f_X\left (\frac{v}{y} \right ) dy$$

Ayrıca biliyoruz ki , $f_Y(y) = \frac{1}{20}$

h(v)=

$$h(v)= \frac{1}{20} \int_{y=-10}^{y=10} \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{2}dy$$ $$h(v)=\frac{1}{40}\int_{y=-10}^{y=10} \frac{1}{y}dy$$

Bir şey söylüyor, burada 0'da süreksiz olduğu için garip bir şey var. Lütfen yardım edin.

Güzel, titiz, zarif bir cevap zaten gönderildi. Bu bir amacı, biraz daha altında yatan yapının ortaya olabilen bir şekilde aynı sonucu elde etmek için olan . Bu gösterir neden olasılık yoğunluk fonksiyonu (pdf) tekil olmalıdır 0 .$XY$$0$

---

Bileşen dağılımlarının formlarına odaklanarak çok şey yapılabilir :

• , iki kez bir U ( 0 , 1 ) rastgele değişkendir. U ( 0 , 1 ) tüm düzgün dağılımların standart, "hoş" bir formudur.$X$$U(0,1)$$U(0,1)$

• R, U ( 0 , 1 ) rasgele değişkeninon katıdır.$|Y|$$U(0,1)$

• İşareti bir Rademacher dağılımı aşağıdaki gibidir: bu eşittir - 1 ya da 1 ' , her bir olasılık ile 1 / 2 .$Y$$-1$$1$$1/2$

(Bu son adım, negatif olmayan bir değişkeni , her ikisi de kuyrukları orijinal dağılıma benzeyen civarında simetrik bir dağılıma dönüştürür .)$0$

Bu nedenle (a) ağırlıkça yaklaşık simetriktir 0 ve (b) 'de mutlak değeri 2 x 10 = 20 , iki bağımsız bir katı ürün U ( 0 , 1 ) rastgele değişken.$XY$$0$$2\times 10=20$$U(0,1)$

Ürünler genellikle logaritmalar alınarak basitleştirilir. Gerçekten de, bir değişkeninin negatif günlüğünün bir Üstel dağılıma sahip olduğu iyi bilinmektedir (çünkü bu, rastgele üstel değişkenler üretmenin en basit yoludur), bu nedenle ikisinin ürününün negatif günlüğü iki Üstel değerin toplamının dağılımı. Üstel Γ ( 1 , 1 ) dağılımdır. Aynı ölçek parametresine sahip gama dağılımları eklemek kolaydır: şekil parametrelerini eklemeniz yeterlidir. A Γ ( 1 , 1 ) artı a Γ ( $U(0,1)$$\Gamma(1,1)$$\Gamma(1,1)$ varyantın Γ ( 2 , 1 ) dağılımı vardır. sonuç olarak$\Gamma(1,1)$$\Gamma(2,1)$

Rastgele değişken , bir Γ ( 2 , 1 ) değişkeninin negatifinin üstel değerinin 20 katının simetrikleştirilmiş versiyonudur .$XY$$20$$\Gamma(2,1)$

$XY$$U(0,1)$$\Gamma(2,1)$$20$$0$

$XY$R

n <- 1; 20 * exp(-rgamma(n, 2, scale=1)) * ifelse(runif(n) < 1/2, -1, 1)

$0$$\Gamma(2,1)$$U(0,1)$$\varepsilon$$0$$\varepsilon$$\sqrt{\varepsilon}$$\varepsilon$$\varepsilon$$0$$\sqrt{\varepsilon}$$\varepsilon$$0$$20$

$XY$$\Gamma(2,1)$

$$f(t)dt = te^{-t}dt,\ 0 \lt t \lt \infty.$$

$t=-\log(z)$$dt = -d(\log(z)) = -dz/z$$0 \lt z \lt 1$$t$$z$

$$f(t)dt = -\left(-\log(z) e^{-(-\log(z))} (-dz/z)\right) = -\log(z) dz,\ 0 \lt z \lt 1.$$

$20$

$$-\log(z/20) d(z/20) = -\frac{1}{20}\log(z/20)dz,\ 0 \lt z \lt 20.$$

$z$$|z|$$-20$$20$$2$$(-20,0)$$(0,20)$

$$\eqalign{ f_{XY}(z)dz &= -\frac{1}{2}\frac{1}{20} \log(|z|/20),\ -20 \lt z\lt 20;\\ f_{XY}(z)dz &= 0\ \text{otherwise}. }$$

$X$$X\sim\mathcal{U}(0,2)$

$$f_X(x) = \frac{1}{2}\mathbb{I}_{(0,2)}(x)$$ $$h(v)= \frac{1}{20} \int_{-10}^{10} \frac{1}{|y|}\cdot \frac{1}{2}\mathbb{I}_{(0,2)}(v/y)\text{d}y$$ $$\begin{align*} h(v) &= \frac{1}{40} \int_{-10}^{0} \frac{1}{|y|} \mathbb{I}_{0\le v/y\le 2}\text{d}y+\frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{|y|}\mathbb{I}_{0\le v/y\le 2}\text{d}y\\ &= \frac{1}{40} \int_{-10}^{0} \frac{1}{|y|} \mathbb{I}_{0\ge v/2\ge y\ge -10}\text{d}y+\frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{|y|}\mathbb{I}_{0\le v/2\le y\le 10}\text{d}y\\&= \frac{1}{40} \mathbb{I}_{-20\le v\le 0} \int_{-10}^{v/2} \frac{1}{|y|}\text{d}y+\frac{1}{40} \mathbb{I}_{20\ge v\ge 0} \int_{v/2}^{10} \frac{1}{|y|}\text{d}y\\ &= \frac{1}{40} \mathbb{I}_{-20\le v\le 0} \log\{20/|v|\}+\frac{1}{40} \mathbb{I}_{0\le v\le 20} \log\{20/|v|\}\\ &=\frac{\log\{20/|v|\}}{40}\mathbb{I}_{-20\le v\le 20} \end{align*}$$

olarak elde edildi

   hist(runif(10^6,0,2)*runif(10^6,10,10),prob=TRUE,
   nclass=789,border=FALSE,col="wheat",xlab="",main="")
   curve(log(20/abs(x))/40,add=TRUE,col="sienna2",lwd=2,n=10^4)