Belirli miktarlardan dağılımların toplam miktarını hesapla

Varsayalım $N$ bağımsız rasgele değişkenler $X_1, ..., X_N$ belirli bir seviyedeki miktarlar $\alpha$ verilerden tahminlerle bilinir: $\alpha = P(X_1 < q_1)$ , ..., $\alpha = P(X_N < q_N)$ . Şimdi rastgele değişkeni tanımlayalım $Z$ toplam olarak $Z = \sum_{i=1}^N X_i$ . Toplamın kantilinin değerini seviyeden hesaplamanın bir yolu var mı $\alpha$ , yani, $q_z$ içinde $\alpha = P(Z < q_Z)$ ?

Bence belirli durumlarda, $X_i$ bir Gauss dağılımını takip eder $\forall i$ bu kolay, ama dağıtımın nerede olduğu için emin değilim $X_i$ bilinmeyen. Herhangi bir fikir?

quantiles

— albarji
kaynak

bunlar

q_{i}

$q_i$ verilerden mi tahmin ediliyor yoksa teorik olarak mı biliniyor?

— chuse

Bu, dağıtımların dağılımı hakkında özel varsayımlar yapılmadan mümkün değildir.

X_{i}

$X_i$ . Aklınızda bir dağıtım ailesi var mı?

— whuber

@chuse the

q_{i}

$q_i$ verilerin dağılımı,

X_{i}

$X_i$ bilinmemektedir ancak örnekler mevcuttur. Soruyu bu gerçekle güncelledim.

— albarji

@whuber dağıtım ailesi hakkında daha önceden bilgim yok

X_{i}

$X_i$ veri örnekleri mevcut olsa da aşağıdaki olabilir. Bir dağıtım ailesinin (Gauss dışında) varsayılması bunu kolaylaştırır mı?

— albarji

$q_Z$ herhangi bir şey olabilir.

Bu durumu anlamak için, bir ön basitleştirme yapalım. İle çalışarak $Y_i = X_i - q_i$ daha düzgün bir karakterizasyon elde ediyoruz

α = Pr (X_{i} \leq q_{i}) = Pr (Y_{i} \leq 0) .

$\alpha = \Pr(X_i \le q_i) = \Pr(Y_i \le 0).$

Yani, her negatif olma olasılığı aynıdır. Çünkü $Y_i$

W = \sum_{i} Y_{i} = \sum_{i} X_{i} - \sum_{i} q_{i} = Z - \sum_{i} q_{i},

$W = \sum_i Y_i = \sum_i X_i - \sum_i q_i = Z - \sum_i q_i,$

için belirleyici denklem eşdeğerdir $q_Z$

α = Pr (Z \leq q_{Z}) = Pr (Z - \sum_{i} q_{i} \leq q_{Z} - \sum_{i} q_{i}) = Pr (W \leq q_{W})

$\alpha = \Pr(Z \le q_Z) = \Pr(Z - \sum_i q_i \le q_Z - \sum_i q_i) = \Pr(W \le q_W)$

ile . $q_Z = q_W + \sum_i q_i$

olası değerleri ? hepsinin, biri negatif ( ) diğeri pozitif ( ) olmak üzere iki değer üzerinde tüm olasılıkla aynı dağılıma sahip olduğu . Toplamı muhtemel değerler ile sınırlıdır için . Bunların her biri olasılıkla oluşur $q_W$ $Y_i$ $y_{-}$ $y_{+}$ $W$ $ky_{-} + (n-k)y_{+}$ $k=0, 1, \ldots, n$

{Pr}_{W} (k y_{-} + (n - k) y_{+}) = (\binom{n}{k}) α^{k} (1 - α)^{n - k} .

${\Pr}_W(ky_{-} + (n-k)y_{+}) = \binom{n}{k}\alpha^k(1-\alpha)^{n-k}.$

Aşırı uçları

Seçme ve , böylece ; ve bunu başaracaktır. Bu , tamamının pozitif olduğu durumlar dışında negatif olacağını garanti eder . Bu şans eşittir . Bu aşan ima, kantil ait kesin negatif olmalıdır. $y_{-}$ $y_{+}$ $y_{-} + (n-1)y_{+} \lt 0$ $y_{-}=-n$ $y_{+}=1$ $W$ $Y_i$ $1 - (1-\alpha)^n$ $\alpha$ $n\gt 1$ $\alpha$ $W$
ve seçimi, böylece ; ve bunu başaracaktır. Bu, yalnızca tüm negatif olduğunda negatif olacağını garanti eder . Bu şans eşittir . olduğunda değerinden daha azdır , bu da kantilinin kesinlikle pozitif olması gerektiği anlamına gelir. $y_{-}$ $y_{+}$ $(n-1) y_{-} + y_{+} \gt 0$ $y_{-}=-1$ $y_{+}=n$ $W$ $Y_i$ $\alpha^n$ $\alpha$ $n\gt 1$ $\alpha$ $W$

Bu, kantilinin negatif veya pozitif olabileceğini, ancak sıfır olmadığını gösterir. Boyutu ne olabilir? ve bazı integral doğrusal kombinasyonuna eşit olmalıdır . Her iki değeri de tamsayı yapmak, tüm olası değerlerinin integral olmasını sağlar. rasgele bir pozitif sayı ölçeklendirdikten sonra , ve nin tüm integral doğrusal kombinasyonlarının katları olduğunu garanti edebiliriz . Yana , o en az olmalıdır boyutu . Sonuç olarak, $\alpha$ $W$ $y_{-}$ $y_{+}$ $W$ $y_{\pm}$ $s$ $y_{-}$ $y_{+}$ $s$ $q_W \ne 0$ $s$ $q_W$ $q_Z$ , neye eşit olursa olsun , olası (ve ) değerleri sınırsızdır . $n\gt 1$

Sadece hakkında herhangi bir bilgi elde etmek için bir yol dağılımına özgü ve kuvvetli kısıtlamaları yapmak olacaktır önlemek ve bu olumsuz sonucunu elde etmek için kullanılan dengesiz dağılımların tür sınırlamak için. $q_Z$ $X_i$

— whuber
kaynak

Açıklayıcı ve açıklayıcı örnek için çok teşekkürler @whuber. Cevap olumsuz olsa da, bunun beklenmedik olduğunu söyleyemem. Sonra hangi dağıtım ailesinin verilerime uygun olduğunu bulmaya çalışacağım ve bununla toplamın miktarlarını çözüp çözemeyeceğimi göreceğim.

— albarji