Dairesel istatistiklerde daha yüksek anlar için sezgi

Dairesel istatistiklerinde, rastgele değişken beklenen değeri daire üzerindeki değerlerle olarak tanımlanır (bakınız Ara ). Bu çok doğal bir tanım, tıpkı Bu yüzden, varyansı tanımlamak için ikinci bir dakikaya ihtiyacımız yoktu! $Z$ $S$

m_{1} (Z) = \int_{S} z P^{Z} (θ) d θ

$m_1(Z)=\int_S z P^Z(\theta)\textrm{d}\theta$

V a r (Z) = 1 - | m_{1} (Z) | .

$\mathrm{Var}(Z)=1-|m_1(Z)|.$

Bununla birlikte, daha yüksek momentleri tanımlarız Bunun ilk bakışta oldukça doğal göründüğünü ve doğrusal istatistiklerin tanımına çok benzediğini itiraf ediyorum. Ama yine de kendimi biraz rahatsız hissediyorum ve aşağıdakilere sahibim

m_{n} (Z) = \int_{S} z^{n} P^{Z} (θ) d θ .

$m_n(Z)=\int_S z^n P^Z(\theta)\textrm{d}\theta.$

Sorular:

1. Yukarıda tanımlanan daha yüksek anlarla (sezgisel olarak) ne ölçülür ? Dağılımın hangi özellikleri anları ile karakterize edilebilir?

2. Daha yüksek momentlerin hesaplanmasında, rastgele sayılarımızın değerlerini sadece düzlemdeki vektörler veya açılar olarak düşünmemize rağmen, karmaşık sayıların çarpımını kullanıyoruz. Karmaşık çarpmanın bu durumda açıların eklenmesi olduğunu biliyorum, ama yine de: Neden karmaşık çarpma dairesel veriler için anlamlı bir işlemdir?

— Rasmus
kaynak

$P^Z$ $Z$ $1$ $Z$ $[0,2\pi)$

İkinci sorunuza gelince, şu cevabı vermişsinizdir: "karmaşık çarpma aslında bu durumda açıların toplanmasıdır".

— Mark Meckes
kaynak

Teşekkür ederim, bu gerçekten yararlı. (Bir Fourier serisini tanımadığım için utanç ...)

— Rasmus

Bu, dairesel dağılımın momentlerinin, momentlerden ziyade doğrusal dağılımın karakteristik fonksiyonu ile karşılaştırılması gerektiği anlamına mı geliyor?

— Rasmus

@Rasmus: Sanırım bu bilgilerle tam olarak ne yapmak istediğinize bağlı, ama genel olarak evet derim.

— Mark Meckes