Hangi daha hızlı, ortalama veya medyan yakınsar?

Eğer iid değişkenlerini N (0,1) 'den çizersem, ortalama veya medyan daha hızlı birleşir mi? Ne kadar hızlı?

Daha spesifik olmak gerekirse, $x_1, x_2, \ldots$ N (0,1) 'den çizilen iid değişkenlerinin bir sırası olsun. tanımlayın $\bar{x}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$ ve $\tilde{x}_n$ ,nin medyanı olacaktır $\{x_1, x_2, \ldots x_n\}$ . Hangisi 0'a daha hızlı , $\{\bar{x}_n\}$ veya $\{\tilde{x}_n\}$ ?

$\lim_{n \to \infty} Var(\bar{X}_n)/Var(\tilde{X}_n)$

normal-distribution mean median

— Josh Brown Kramer
kaynak

Nüfus parametresine göre bir nokta tahmini olasılığındaki yakınsama hakkında mı soruyorsunuz? Yoksa rastgele bir değişkenin dağılımındaki yakınsama hakkında mı soruyorsunuz?

— Ryan Simmons

"0'a daha hızlı yakınsama" ile "daha küçük asimptotik varyansı olan" veya başka bir şey mi demek istediniz?

— Glen_b-Monica'yı

@Blen_b Bir dereceye kadar bu gerçek bir sorunla motive oluyor: medyan, aykırı değerlere karşı daha sağlamdır, bu nedenle örnek medyanının, örnek boyutu büyüdükçe ortalamadan daha hızlı bir şekilde birleşmesi gerektiği görülmektedir. Bu durumda yakınsama oranını ifade etmenin en iyi yolunun ne olduğunu gerçekten bilmiyorum. için, olup olmadığını ve varsa ne olduğunu sorabilirim .

lim_{n \to \infty} V a r ({\bar{X}}_{n}) / V a r ({\tilde{X}}_{n})

$\lim_{n \to \infty} Var(\bar{X}_n)/Var(\tilde{X}_n)$

— Josh Brown Kramer

Veriler normal bir dağılımdan gerçekten örneklendiyse, aykırı değerler son derece nadirdir - ortalama üzerindeki etki, örnek ortalamasını popülasyon ortalamasının en verimli tahmini olarak bırakır. Ancak medyanı rekabetçi hale getirmek için çeşitli ağır kuyruklara ihtiyacınız yoktur.

— Bahsettiğiniz

Bu durumda ortalama ve medyan aynıdır. Medyanın ortalama olarak% 64 verimli olduğu bilinmektedir, bu nedenle ortalamanın yakınlaşması daha hızlıdır. Daha fazla ayrıntı yazabilirim ama wikipedia sorunuzla tam olarak ilgilenir.

— Yair Daon
kaynak

Atıfın var mı?

— Josh Brown Kramer

Laplace, PSde (1818) Probabilités , Paris, Courcier - Théorie Analizleri , Kurye - Laplace hem ortalama hem de medyan için asimtotik dağılım sağlar. Ayrıca Vikipedi

— Glen_b -Restate Monica

@ Glen_b: (+1) nihai referans !!!

— Xi'an

@ Glen_b evet bu destansı bir yanıttı, oldukça güldüm. Bunun için teşekkürler!

— user541686

@ xi'an demek istedin ortalama ve medyan aynı miktarda yazmak?

— Yair Daon