Medyan, bir tür “ortalama” genellemesi için bir tür ortalama mıdır?

"Ortalama" kavramı geleneksel aritmetik ortalamadan çok daha geniştir; medyanı içerecek kadar uzar mı? Kıyas yoluyla,

$$\text{raw data} \overset{\text{id}}{\longrightarrow} \text{raw data} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{raw mean} \overset{\text{id}^{-1}}{\longrightarrow} \text{arithmetic mean} \\ \text{raw data} \overset{\text{recip}}{\longrightarrow} \text{reciprocals} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{mean reciprocal} \overset{\text{recip}^{-1}}{\longrightarrow} \text{harmonic mean} \\ \text{raw data} \overset{\text{log}}{\longrightarrow} \text{logs} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{mean log} \overset{\text{log}^{-1}}{\longrightarrow} \text{geometric mean} \\ \text{raw data} \overset{\text{square}}{\longrightarrow} \text{squares} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{mean square} \overset{\text{square}^{-1}}{\longrightarrow} \text{root mean square} \\ \text{raw data} \overset{\text{rank}}{\longrightarrow} \text{ranks} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{mean rank} \overset{\text{rank}^{-1}}{\longrightarrow} \text{median}$$

Çizdiğim benzetme, şu şekilde verilen yarı aritmetik ortalamaya yöneliktir :

$$M_f(x_1,\dots,x_n)=f^{-1}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_i) \right)$$

Karşılaştırma için, beş maddelik bir veri kümesinin medyanının üçüncü öğeye eşit olduğunu söylediğimizde, verileri bir ila beş arasında sıralamaya eşdeğer olarak görebiliriz (ki bir fonksiyonu ile gösterebiliriz ); dönüştürülen verilerin (üç olan) ortalamasını almak; ve üç rütbesi olan (bir tür ) veri öğesinin değerinin okunması .f - $f$$f^{-1}$

Geometrik ortalama, harmonik ortalama ve RMS, örneklerinde, herhangi bir sayıya izole olarak uygulanabilen sabit bir işlevdi. Buna karşılık, bir rütbe atamak veya rütbelerden orijinal verilere geri dönmek için (gerektiğinde enterpolasyon) tüm veri kümesinin bilgisi gerekir. Ayrıca, yarı aritmetik ortalamayı okuduğum tanımlarda, sürekli olması gerekir. Medyan şimdiye kadar özel bir yarı-aritmetik ortalama örneği olarak kabul edilir mi ve eğer öyleyse nasıl tanımlanır? Yoksa medyan daha önce başka bir “ortalama” kavramının bir örneği olarak mı tanımlanıyor? Yarı aritmetik ortalama mevcut tek genelleme değildir.f $f$$f$$f$

Konunun bir kısmı terminolojiktir (özellikle "merkezi eğilim" veya "ortalama" nın aksine "ne demek" ne anlama geliyor?). Örneğin, bulanık kontrol sistemleri literatüründe , bir toplama fonksiyonu , ve ile artan bir fonksiyondur. ; [a, b] içindeki tüm x, y \ için "toplama" (a Genel anlamda). Böyle bir tanım, söylemeye gerek yok, inanılmaz geniş! Ve bu bağlamda medyan gerçekten de bir tür ortalama olarak adlandırılır. ^ {[1]}$F:[a,b] \times [a,b] \to [a,b]$$F(a,a)=a$$F(b,b)=b$$\min(x,y) \leq F(x,y) \leq \max(x,y)$$x,y \in [a,b]$$^{[1]}$Ancak, ortalamanın daha az geniş karakterizasyonlarının hala medyanı kapsayacak kadar genişleyip genişlemediğini merak ediyorum - genelleştirilmiş ortalama ("güç ortalaması" olarak daha iyi tanımlanabilir) ve Lehmer ortalaması değil, ama diğerleri . Değeri ne olursa olsun, Wikipedia "medyan" ı "diğer araçlar" listesine ekler , ancak daha fazla yorum veya alıntı yapmaz.

$[1]$ : İkiden fazla girdi için uygun şekilde uzatılmış bu kadar geniş bir ortalama tanım, bulanık kontrol alanında standart gibi görünmektedir ve medyan olarak tanımlanan medyan örnekleri için internet aramaları sırasında birçok kez kırpılmıştır; Örneğin Fodor, JC ve Rudas, IJ (2009), " Göç Eden Bazı Toplama İşlev Sınıflarında ", IFSA / EUSFLAT Conf. (sayfa 653-656). Bu arada, bu kağıt notlar terimi "demek" (en erken kullanıcılarından biri olduğunu moyenne ) idi Cauchy , içinde Cours d'analiz de l'Ecole royale yüksekokul, 1ère partie; Analiz et: algébrique (1821). Daha sonra katkıları Aczél , Chisini ,ve de Finetti, Cauchy'den daha genel "ortalama" kavramları geliştirmede Fodor, J. ve Roubens, M. (1995), "Ortalamaların anlamlılığı üzerine ", Hesaplamalı ve Uygulamalı Matematik Dergisi , 64 (1), 103-115.

İşte bir medyanı "genel bir tür ortalama" olarak görmenin bir yolu - ilk olarak, sıradan aritmetik ortalamanızı sipariş istatistikleri açısından dikkatlice tanımlayın:

$$\bar{x} = \sum_i w_i x_{(i)},\qquad w_i=\frac{_1}{^n}\,.$$

Sonra sıradan ortalama istatistiklerini başka bir ağırlık fonksiyonu ile değiştirerek, siparişi açıklayan "genelleştirilmiş ortalama" kavramını elde ederiz.

Bu durumda, bir dizi potansiyel merkez önlemi "genelleştirilmiş araç türleri" haline gelir. Tek için medyan durumunda, , w ( n + 1 ) / 2 = 1 ve tüm diğer 0 ve hatta için , n , W $n$$w_{(n+1)/2}=1$$n$ .$w_{\frac{n}{2}}=w_{\frac{n}{2}+1}=\frac{1}{2}$

Benzer şekilde, M-tahminine bakarsak , konum tahminleri de aritmetik ortalamanın genelleştirilmesi olarak düşünülebilir (ortalama için kuadratik, ψ doğrusal veya ağırlık fonksiyonu düzdür) ve medyan bu genelleme sınıfına da girer. Bu, öncekinden biraz farklı bir genelleme.$\rho$$\psi$

Medyanı içerebilecek 'ortalama' kavramını genişletebilmemizin başka yolları da vardır.

Ortalamayı, kuadratik kayıp fonksiyonu SSE'yi en aza indiren nokta olarak düşünüyorsanız, medyan doğrusal kayıp fonksiyonu MAD'yi en aza indiren noktadır ve mod, 0-1 kayıp fonksiyonunu en aza indiren noktadır. Dönüşüm gerekmez.

Bu yüzden medyan bir Fréchet ortalamasına bir örnektir .

Bir kolay ancak verimli genelleme için ağırlıklı vasıtasıyla , burada Σ n i = 1 w i = 1 . Açıkça görülüyor ki, ortak veya bahçe ortalaması, eşit ağırlıklara w i = 1 / n olan en basit özel durumdur .$\sum_{i=1}^n w_i x_i / \sum_{i=1}^n w_i,$$\sum_{i=1}^n w_i = 1$$w_i = 1/n$

Ağırlıklar, en küçükten en büyüğe, büyüklükteki değerlerin sırasına, diğer çeşitli özel durumlara, özellikle de diğer isimler tarafından da bilinen kesilmiş bir ortalama fikrine bağlıdır .

Notasyonun gerekli olmadığı veya özellikle yararlı olmadığı yerlerde aşırı kullanımdan kaçınmak için, örneğin en küçük ve en büyük değerleri görmezden geldiğini ve diğerlerinin (eşit ağırlıklı) ortalamasını aldığını düşünün. Ya da en küçüğü ve en büyüğünü görmezden geldiğini ve diğerlerinin ortalamasını aldığını düşünün; ve benzerleri. En güçlü kırpma, değerlerin sayısının tek mi yoksa çift mi olduğuna bağlı olarak, bir veya iki orta değer dışındaki tüm değerleri göz ardı eder, ki bu doğal olarak sadece tanıdık medyandır . Kırpma fikrindeki hiçbir şey sizi bir numunenin her kuyruğundaki eşit sayıları görmezden gelmekten alıkoyamaz, ancak asimetrik kırpma hakkında daha fazla şey söylemek bizi bu iş parçasındaki ana fikirden uzaklaştıramaz.

Kısacası, araçlar (niteliksiz) ve medyanlar (simetrik) kesilmiş araç ailesinin aşırı sınırlayıcı durumlarıdır. Genel fikir, verilerdeki tüm bilgileri kullanma idealiyle, kendisini güvenilir olmayan aykırı olabilecek aşırı veri noktalarından korumak için başka bir ideal arasındaki uzlaşmaya izin vermektir.

Oldukça yeni bir inceleme için buradaki referansa bakın .

Güç araçları, - Soru davetiye hepimizi normal yollarla kapsayacak şekilde yeterince geniş anlamda "ortalama" kavramını karakterize etmek veri analizi için neredeyse işe yaramaz hale gelmesi ama bu kadar geniş - araçları, medyanları, kesilmiş demektir . Bu cevap, "ortalama" nın herhangi bir makul yararlı tanımına sahip olması gereken aksiyomatik özelliklerin bazılarını tartışmaktadır.$L^p$

---

Temel Aksiyomlar

Veri analizi amacıyla "ortalama" bir amaca uygun geniş tanımı herhangi bir iyi tanımlanmış, belirleyici fonksiyon dizisi olacaktır için bir ⊂ R ve n = 1 , 2 , ... , öyle ki$f_n:A^n\to A$$A\subset\mathbb{R}$$n=1, 2, \ldots$

(1) için tüm X = ( x , 1 , x 2 , ... , x , n ) ∈ A , n , (uç arasında bir ortalama yalan)$\newcommand{\x}{\mathrm{x}} \newcommand{\min}{\text{min}}\min (\x)\le f_n(\x)\le \max(\x)$$\x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)\in A^n$

(2) , argümanlarının permütasyonları altında değişmezdir (ortalamalar verilerin sırasını umursamamaktadır) ve$f_n$

(3) her bir argümanlarının her birinde azalmaz (sayılar arttıkça ortalamaları düşemez).$f_n$

Biz gereken izin tür geometrik aracı olarak vasıtasıyla, bol ancak böyle kümeler üzerinde tanımlı olduğundan (tüm pozitif sayılar gibi) gerçek sayıların bir öz alt kümesidir olmak.$A$

Bunu da eklemek isteyebiliriz

(1 '), min ( x ) ≠ f n ( x ) ≠ maks ( x ) (ortalamalar aşırı değildir ) olan en azından bir miktar vardır. (Bunun her zaman beklemesini isteyemeyiz. Örneğin, ( 0 , 0 , … , 0 , 1 ) medyanı minimum olan 0'a eşittir .)$\x\in A$$\min(\x)\ne f_n(\x)\ne \max(\x)$$(0,0,\ldots,0,1)$$0$

Bu özellikler, bir dizi (sıralanmamış) verinin bir tür "orta değeri" olan "ortalama" olmanın arkasındaki fikri ele almaktadır.

Tutarlılık aksiyomları

Daha az belirgin olan tutarlılık ölçütünü şart koşuyorum

$f_{n+1}(t, x_1, x_2, \ldots, x_n)$$t$$[\min(\x), \max(\x)]$$f_n(\x)$$t$veri kümesine. (3) ile bağlantılı olarak, bir veri kümesine bitişik uç değerlerin ortalamayı bu uç noktalara doğru çekeceğini ima eder.

Ortalama kavramını bir dağıtıma veya "sonsuz nüfusa" uygulamak istiyorsak, keyfi yollardan rasgele büyük örneklerin sınırına ulaşmanın bir yolu olurdu. Elbette sınır her zaman mevcut olmayabilir (örneğin, dağılımın beklentisi olmadığı zaman aritmetik ortalama için mevcut değildir). Bu nedenle, bu tür sınırların varlığını garanti etmek için herhangi bir ek aksiyom dayatmak istemiyorum, ancak aşağıdakiler doğal ve yararlı görünüyor:

$A$$\x_n$$F$$A$$f_n(\x_n)$$A$

Aynı çizgiler boyunca, örnek boyutları arttıkça "konum" un daha iyi bir tahmincisi olması konusunda ısrar etmek için bir ortalama fikri daha da daraltabiliriz:

$A$$f_n(X^{(n)})$$X^{(n)} = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$$F$$n$

Süreklilik aksiyomu

Verilerle "güzelce" değişmek için araçlar istemeyi düşünebiliriz:

$f_n$

Bu gereklilik bazı garip genellemeleri ortadan kaldırabilir, ancak iyi bilinen herhangi bir anlamı dışlamaz. Bazı toplama işlevlerini ekarte eder.

Değişmez aksiyom

Araçları, aralık veya oran verilerine (Stevens'ın iyi bilinen anlamında) uygulanacak şekilde düşünebiliriz. Biz onlar (geometrik ortalama değildir) yerin vardiya altında değişmeyen olmak talep olamaz, ama biz olabilir gerektirir

$f_n(\lambda \x) = \lambda f_n(\x)$$\x \in A^n$$\lambda \gt 0$$\lambda \x \in A^n$$f_n$

Soruda bahsedilen tüm araçlar, bazı toplama işlevleri dışında bu aksiyomu tatmin eder.

---

Tartışma

$f_2$$n\gt 2$

Her zamanki örnek medyan tüm bu aksiyomatik özelliklere sahiptir.

Tutarlılık aksiyomlarını içerecek şekilde artırabiliriz

$f_{2n}(\x;\x) = f_n(\x)$$\x \in A^n.$

$100\alpha\%$ $100\alpha\%$$(1,2,3,6)$$(2,2,3,3)$$2.5$$(1,1,2,2,3,3,6,6)$$3.5$

Hangi tutarlılık aksiyomlarından (4.a), (4.b) veya (4.c) hangisinin en çok arzu edilen veya yararlı olacağını bilmiyorum. Bağımsız görünüyorlar: İkisinin üçüncüyü ima ettiğini düşünmüyorum.

Bence medyan, aritmetik ortalamanın bir tür genelleştirmesi olarak düşünülebilir. Özellikle, aritmetik ortalama ve medyan (diğerleri arasında) Chisini ortalamasının özel durumları olarak birleştirilebilir. Bir değer kümesi üzerinde bir işlem yapacaksanız, Chisini ortalaması kümedeki tüm orijinal değerlerin yerine geçebileceğiniz ve yine de aynı sonucu elde edebileceğiniz bir sayıdır. Örneğin, değerlerinizi toplamak istiyorsanız, tüm değerleri aritmetik ortalama ile değiştirmek aynı toplamı verir. Fikir, belirli bir değerin, bu sayılar üzerinde belirli bir işlem bağlamında kümedeki sayıları temsil etmesidir. (Bu düşünme biçiminin ilginç bir sonucu, verilen bir değerin - aritmetik ortalama - yalnızca bu rakamlarla belirli şeyler yaptığınız varsayımı altında temsilci olarak kabul edilebileceğidir.)

This is less obvious for the median (and I note that the median is not listed as one of the Chisini means on Wolfram or Wikipedia), but if you were to allow operations over ranks, the median could fit within the same idea.

The question is not well defined. If we agree on the common "street" definition of mean as the sum of n numbers divided by n then we have a stake in the ground. Further If we would look at measures of central tendency we could say both Mean and Median are generealization but not of each other. Part of my background is in non parametrics so I like the median and the robustness it provides, invariance to monotonic transformation and more. but each measure has it's place depending on objective.