Ölçülemeyen bir olayın olasılığı

Ölçme teorisinden, ölçülemeyen olaylar olduğunu biliyoruz, yani Lebesgue ölçülebilir değildir. Olasılık ölçüsünün tanımlanmadığı ihtimali olan bir olaya ne denir? Böyle bir olay hakkında ne tür açıklamalar yaparız?

probability estimation

— schenectady
kaynak

Bu hesaplanmıyor. Belki kahveye ihtiyacım var ya da bunu yanlış okuyorum. Ölçülemeyen bir ölçüm işlevi ile ölçülemeyen bir küme arasında bir fark vardır. Soru işleve bağlıysa, işlevin tanımsız olduğu bir noktadır. Bu, tanımlanmış bir işlev olasılığını engellemez ve geçerli bir olasılık ölçüsüdür.

— Yineleyici

Seçim aksiyomu olmadan Lebesgue ile ölçülemeyen bir set oluşturamazsanız, ölçülemeyen bir olasılığı olan belirli bir olayın olup olmadığını nasıl anlarsınız?

— Henry

@Henry: OP sadece terminolojiden bahsediyor olabilir. Böyle bir olaya nasıl atıfta bulunabileceğime gelince , Douglas Adams'ın Sonsuz Olasılıksızlık Drive'ını çağırmam gerekirdi. Ya da kahvaltıdan önce 6 imkansız şeye inanabileceği için Beyaz Kraliçe fenomeni olarak adlandırın. :)

— Yineleyici

Kardinalin işaret ettiği gibi, ölçülemeyen kümeler olasılık teorisinde çok yaygın olarak kullanılmaktadır. Van der Vaart'ın zayıf yakınsama ve ampirik süreçler kitabı çok iyi bir giriş sunuyor. Bu kitabın okunması matematikte oldukça iyi bir arka plan gerektiriyor, ancak sunulan teori benim görüşümde güzel.

— mpiktas

Sadece Lebesgue ölçümünü içeren sonuçlarla mı yoksa daha genel olarak olasılık teorisi çerçevesinde mi ilgileniyorsunuz? Buradaki katılımcılar arasında bu konuda bazı şüpheler var gibi görünüyor.

— kardinal

Yanıtlar:

Yorumlarda belirttiğim gibi, bu tür olaylarla (ölçülemeyen kümeler) nasıl başa çıkılacağı kitapta açıklanmıştır: A. van der Vaart ve A. Wellner tarafından zayıf yakınsama ve ampirik süreçler . İlk birkaç sayfaya göz atabilirsiniz.

Bu setlerle nasıl başa çıkılacağı oldukça basittir. Bunları ölçülebilir setlerle yaklaşık. Diyelim ki bir olasılık alanımız var . Herhangi bir kümesi için dış olasılığı tanımlayın (kitapta sayfa 6'dadır): $(\Omega,\mathcal{A},P)$ $B$

P^{*} (B) = inf {(P (bir), B \subset bir, bir \in bir}

$P^*(B)=\inf\{(P(A), B\subset A, A\in \mathcal{A}\}$

Bu tür bir tanımla çok verimli bir teori oluşturabileceğiniz ortaya çıkıyor.

— mpiktas
kaynak

ampirik süreç teorisi konusunda uzman olmasam da, dış olasılıkların kullanımının gerçekten ölçülemeyen kümelere olasılıklar atama arzusuna dayanmadığı izlenimi benimsemekle birlikte, aslında her zaman ölçülebilirliği kanıtlıyor. Ve eğer Fubini teoremi gibi şeyler olmadan yaşayabiliyorsanız, o zaman sadece dış olasılıkları hesaplayarak hiçbir şeyi kaybetmezsiniz.

— NRH

Edit: Kardinal'in yorum ışığında: Aşağıda söylediğim tek şey Lebesgue ölçüsü (tam bir ölçü) hakkında. Sorunuzu yeniden okuduğunuzda, sorduğunuz şey de bu gibi görünüyor. Genel Borel ölçü durumunda, tedbiri setinizi içerecek şekilde genişletmek mümkün olabilir (Lebesgue ölçümü ile mümkün olmayan bir şey çünkü zaten olabildiğince büyüktür).

Böyle bir olayın olasılığı tanımlanmaz. Dönemi. Gerçek değerli bir fonksiyon (gerçek olmayan) bir kompleks sayı için tanımlanmadığı gibi, bir olasılık ölçüsü ölçülebilir kümelerde tanımlanır, ancak ölçülemeyen kümelerde tanımlanmaz.

Peki böyle bir olay hakkında ne tür açıklamalar yapabiliriz? Yeni başlayanlar için böyle bir olayın tercih edilen aksiyom kullanılarak tanımlanması gerekir. Bu, bir kuralla tanımlayabildiğimiz tüm kümelerin hariç tutulduğu anlamına gelir. Yani, genellikle ilgilendiğimiz tüm setler hariç tutulur.

Ancak ölçülemeyen bir olayın olasılığı hakkında bir şey söyleyemedik mi? Üzerine bir şey mi koyuyorsun? Banach-Tarski'nin paradoksu bunun işe yaramayacağını gösteriyor. Banach-Tarski'nin küreyi parçaladığı sonlu parçaların ölçüsü bir üst sınıra (örneğin kürenin ölçüsü) sahipse, yeterli küreler inşa ederek bir çelişkiye gireriz. Geriye benzer bir argümanla, parçaların önemsiz bir alt sınırına sahip olamayacağını görüyoruz.

Bunu olmadığını göstermiştir hepsi bir zeki kişinin ben bir argüman herhangi tutarlı bir şekilde "tedbir boundon önemsiz olmayan herhangi koyamazsınız gösteren ile gelip muktedir olması gerekenden daha inanıyoruz rağmen olmayan ölçülebilir kümeler, bu sorunludur "ölçülemeyen kümelerden (topluma meydan okuma).

Özetle, böyle bir kümenin olasılık ölçümü hakkında herhangi bir açıklama yapamayız, bu dünyanın sonu değil, çünkü ilgili tüm kümeler ölçülebilir.

— Har
kaynak

Bu ilginç bir cevap ve bilgilendirici bir cevaptır. Ancak, Lebesgue'in ölçülebilirliğine aşırı odaklanmış olabilirsiniz. Ölçülemeyen kümeler olasılık teorisinde çok daha yaygındır.

— kardinal

$\sigma$ $\sigma$ $\sigma$ $\sigma$ $\mathbb{R}$ $\sigma$

$\sigma$ $\sigma$

— NRH
kaynak