Ki-kare değişkenlerin sonsuz koleksiyonunun düzen istatistikleri (örneğin, minimum)?

Bu benim ilk defa burada, bu yüzden sorumu herhangi bir şekilde açıklığa kavuşturabilir miyim lütfen (biçimlendirme, etiketler vb. Dahil). (Ve umarım daha sonra düzenleyebilirim!) Referanslar bulmaya çalıştım ve indüksiyon kullanarak kendimi çözmeye çalıştım, ancak her ikisinde de başarısız oldum.

Ben farklı serbestlik dereceleri ile bağımsız rasgele değişkenler sayılabilecek kadar sonsuz bir dizi bir sipariş istatistik azaltmak gibi görünüyor bir dağıtım basitleştirmek çalışıyorum ; Özellikle, dağılımı nedir bağımsız arasına inci en küçük değeri ? $\chi^2$ $m$ $\chi^2_2,\chi^2_4,\chi^2_6,\chi^2_8,\ldots$

Özel durum ile ilgilenirim : minimum (bağımsız) nedir? $m=1$ $\chi^2_2,\chi^2_4,\chi^2_6,\ldots$

Minimum düzeyde, kümülatif dağıtım işlevini (CDF) sonsuz bir ürün olarak yazabildim, ancak daha da basitleştiremedim. I CDF gerçeğini kullanılan olup ( , bu beklenti 2 ile üstel dağılım ile denklik hakkındaki aşağıdaki ikinci yorumu doğrular.) Minimum CDF daha sonra Üründeki ilk terim sadece ve "son" terim $\chi^2_{2m}$

F_{2 m} (x) = γ (m, x / 2) / Γ (m) = γ (m, x / 2) / (m - 1)! = 1 - e^{- x / 2} Σ_{k = 0}^{m - 1} x^{k} / (2^{k} k!) .

$F_{2m}(x)=\gamma(m,x/2)/\Gamma(m)=\gamma(m,x/2)/(m-1)!=1-e^{-x/2}\sum_{k=0}^{m-1}x^k/(2^k k!).$

m = 1

$m=1$

F_{m ben n} (x) = 1 - (1 - F_{2} (x)) (1 - F_{4} (x)) ... = 1 - Π_{m = 1}^{\infty} (1 - F_{2 m} (x))

$F_{min}(x) = 1-(1-F_2(x))(1-F_4(x))\ldots = 1-\prod_{m=1}^\infty (1-F_{2m}(x))$

= 1 - Π_{m = 1}^{\infty} (e^{- x / 2} Σ_{k = 0}^{m - 1} \frac{x^{k}}{2^{k} k!}) .

$= 1- \prod_{m=1}^\infty \left(e^{-x/2}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{x^k}{2^k k!}\right).$

e^{- x / 2}

$e^{-x/2}$

e^{- x / 2} \sum_{k = 0}^{\infty} x^{k} / (2^{k} k!) = 1

$e^{-x/2}\sum_{k=0}^\infty x^k/(2^k k!)=1$ . Ama oradan nasıl basitleştireceğimizi bilmiyorum (mümkünse?). Ya da belki tamamen farklı bir yaklaşım daha iyidir.

Potansiyel olarak faydalı başka bir hatırlatma: $\chi^2_2$ , beklentisi 2 olan üstel dağılımla aynıdır ve $\chi^2_4$ , bu tür iki toplamıdır.

Merak eden biri varsa, bu makaledeki Teorem 1'i bir sabit üzerindeki gerileme için basitleştirmeye çalışıyorum ( tüm için ). ( dağılımları yerine var .) $x_i=1$ $i$ $\chi^2$ $\Gamma$ $2\kappa$

— David M Kaplan
kaynak

Does bu sorunuza cevap?

— mpiktas

@mpiktas: öneriniz için teşekkürler. Farklı hız parametrelerine sahip üstel olanlar dışında, farklı serbestlik derecelerine sahip chi-karelerim var (ve sonlu değil sonsuz sayıda). Ederken , üstel olduğunu değildir; üstel değerlerin toplamıdır, ancak üstel değerlerin toplamı üstel değildir. (Ve ideal olarak genel bir sipariş istatistiği umuyorum, ancak min harika bir başlangıç olurdu.)

χ_{2}^{2}

$\chi^2_2$

χ_{4}^{2}, χ_{6}^{2}, \dots

$\chi^2_4,\chi^2_6,\ldots$

— David M Kaplan

Bunun için kapalı bir form olduğundan şüpheliyim. Bununla birlikte, ilginç bir karakterizasyonu var: olduğunda Poisson ( ) değişir , , o zaman tüm .

X_{k}

$X_k$

λ / 2

$\lambda/2$

k = 1, 2, \dots

$k=1,2,\ldots$

1 - F_{m i n} (λ)

$1-F_{min}(\lambda)$

X_{k} \leq k

$X_k \le k$

— whuber

T_{1}, T_{2}, \dots

$T_1, T_2, \ldots$

E x p (1 / 2)

$\mathrm{Exp}(1/2)$

N (t) := sup {n : \sum_{i = 1}^{n} T_{i} \leq t}

$N(t) := \sup\{n: \sum_{i=1}^n T_i \leq t\}$

1 / 2

$1/2$

U_{1} = T_{1}

$U_1 = T_1$

U_{2} = T_{2} + T_{3}

$U_2 = T_2 + T_3$

U_{3} = T_{4} + T_{5} + T_{6}

$U_3 = T_4 + T_5 + T_6$

U_{i} \sim χ_{2 i}^{2}

$U_i\sim\chi_{2i}^2$ bağımsızdır ve bir Poisson işleminin sabit bağımsız artış özelliği ile .

P (U_{i} \geq t) = P (N (t) \leq i)

$\mathbb{P}(U_i \geq t) = \mathbb{P}( N(t) \leq i)$

— kardinal

@Cardinal Tabii ki: bunu görmenin iyi bir yolu. Merak, Poissons ve Gammas arasındaki ilişkide değildir; etkinliğin kendisinin açıklamasında yatıyor!

— whuber

Yanıtlar:

Sonsuz ürünün sıfırları, terimlerin sıfırlarının birliği olacaktır. 20. terimi hesaplamak genel modeli gösterir:

karmaşık sıfırların çizimi

Karmaşık düzlemdeki sıfırların bu grafiği, her bir terimin üründeki katkılarını farklı sembollerle ayırt eder: her adımda, görünen eğriler daha da genişletilir ve daha da yeni bir eğri başlatılır.

Bu resmin karmaşıklığı, Whittaker gibi klasik bir metinde araştırıldığı gibi, yüksek analizin iyi bilinen işlevleri (gamma, thetas, hipergeometrik işlevler, vb.) Ve temel işlevler açısından kapalı formlu bir çözüm olmadığını göstermektedir. & Watson ).

Bu nedenle, sorun biraz daha verimli bir şekilde ortaya çıkabilir : sipariş istatistiklerinin dağılımı hakkında ne bilmeniz gerekir? Karakteristik fonksiyonlarının tahminleri? Düşük sipariş anları? Kuantillere yaklaşımlar? Başka bir şey?

— whuber
kaynak

Ürünün sıfırları neden önemlidir? Önemsiz bir şey eksik olduğumu hissediyorum.

— mpiktas

@mp Sıfırlar ve kutuplar işlevin karmaşıklığı hakkında bir şeyler gösterir. Rasyonel fonksiyonların sınırlı sayıda vardır. Temel işlevler tipik olarak için , integral gibi bir sıfır çizgisine sahiptir ; tipik "aşkın" fonksiyonlar, pozitif olmayan tamsayılar (Gama fonksiyonunun karşılıklı) veya bir nokta kafes (teta fonksiyonları ve eliptik fonksiyonlar) gibi biraz daha karmaşık sıfır modellerine sahiptir. Burada sergilenen karmaşık desen, bu tanıdık işlevler açısından CDF'yi ifade etmenin zor veya imkansız olacağını göstermektedir.

2 i π n

$2i\pi n$

n

$n$

\exp ()

$\exp()$

— whuber

@whuber (1/2), teşekkürler! Karmaşık düzlemde bu farklı sıfır kalıplarına sahip farklı işlev sınıflarını bilmiyordum; kulağa çok faydalı geliyor ve grafiğiniz sorumu yanıtlıyor gibi görünüyor (pozlandığı gibi).

— David M Kaplan

@whuber (2/2), bu, başka bir makalede verilen bir kestirimcinin (karmaşık) dağılımının özel bir durumunu kontrol ediyordu. Bootstrap kullanarak haklı göstermek için dağıtımın varlığını kullandılar; danışmanım dağılımı yaklaşık olarak denememi önerdi. Görünüşe göre dağıtımları bu özel durum için kapalı olabilir (nerede olması gerektiğini biliyorum), bu yüzden hibe son teslim tarihinden sonra danışmanımı kontrol edeceğim; ancak potansiyel olarak, daha karmaşık bir ortamda sipariş stat'ünün ( bölünmüş ) olarak daha üst düzey bir genişlemesini almaya çalışıyordum . Eğer öyleyse tekrar gönderecek; Tekrar teşekkürler!

m

$m$

m

$m$

m \to \infty

$m\to\infty$

— David M Kaplan

minimum (bağımsız) nedir? $\chi^2_2,\chi^2_4,\chi^2_6,\ldots$

Yaklaşık 6 yıl geç geldiğiniz için özür dileriz. OP büyük olasılıkla şimdi başka sorunlara yönelmiş olsa da, soru hala taze ve farklı bir yaklaşım önerebileceğimi düşündüm.

Bize ; burada burada , pdf : $(X_1, X_2, X_3, \dots)$ $X_i \sim \text{Chisquared}(v_i)$ $v_i= 2i$ $f_i(x_i)$

için örnek boyutu arttıkça karşılık gelen pdf nin bir çizimi : $f_i(x_i)$ $i = 1 \text{ to } 8$

$\text{min}(X_1, X_2, X_3, \dots)$

Ekstra bir terim eklediğimiz her seferinde, marjinal son terimin pdf'si daha da fazla sağa kayıyor, böylece daha fazla terim eklemenin etkisi sadece daha az ve daha az alakalı değil, sadece birkaç terimden sonra , neredeyse önemsiz hale gelir - örnek minimumda. Bu aslında, çok az sayıda terimin gerçekten önemli olacağı anlamına gelir ... ve ek terimler (veya sonsuz sayıda terimin varlığı) eklenmesi örnek asgari problemi ile büyük ölçüde ilgisizdir.

Ölçek

$\text{min}(X_1, X_2, X_3, \dots)$ OrderStatNonIdentical $1^{\text{st}}$ $j$ $i$ $v_i$

Terim sayısı arttıkça biraz karmaşıklaşır ... ancak 1 terim (1. sıra), 2 terim (ikinci sıra), 3 terim (3. sıra) ve yukarıdaki 4 terim için çıktıyı gösterdim.

Aşağıdaki şemada örnek minimum pdf değeri 1 terim (mavi), 2 terim (turuncu), 3 terim ve 10 terim (kırmızı) ile karşılaştırılmıştır. 3 terim ve 10 terim arasında sonuçların ne kadar benzer olduğuna dikkat edin:

Aşağıdaki diyagram 5 terimi (mavi) ve 10 terimi (turuncu) karşılaştırır - grafikler çok benzer, birbirlerini yok ederler ve biri farkı bile göremez:

Başka bir deyişle, terimlerin sayısının 5'ten 10'a çıkarılmasının, örnek minimum dağılımına neredeyse hiç görsel bir etkisi yoktur.

Yarı Lojistik Yaklaşım

Son olarak, örnek min'in pdf'sinin mükemmel bir basit yaklaşımı, pdf ile yarı lojistik dağılımdır:

g (x) = \frac{2 e^{- x}}{{(e^{- x} + 1)}^{2}} için x > 0

$g(x) = \frac{2 e^{-x}}{\left(e^{-x}+1\right)^2} \quad \text{ for } x>0$

Aşağıdaki şema kesin çözümü 10 terim (5 terim veya 20 terimden ayırt edilemez) ve yarı Lojistik yaklaşımla (kesikli) karşılaştırır:

20 terime yükseltmek fark edilebilir bir fark yaratmaz.

— Wolfies
kaynak