sürekli değişken olduğunda

Sürekli değişken olduğunu biliyorum . $P[X=x]=0$

Fakat ise sonsuz sayıda olası ' olduğunu göremiyorum . Ve ayrıca olasılıkları neden sonsuz derecede küçülüyor? $P[X=x]=0$ $x$

— zaman
kaynak

Sürekli değişkenin Koşullu olasılığının

— Xi'an

Bu soruyu yinelenen olarak kapatmak için zaten iki oy var. Kabul etmiyorum. Bu oldukça basit bir konudur, gelecekte muhtemelen tekrar ortaya çıkacak olanlardan biridir, bu yüzden doğrudan ve kaliteli bir cevaba sahip olsaydı iyi olurdu, bu yüzden gelecekte anlatabiliriz. @ Xi'an tarafından sağlanan bağlantı yinelenebilir, ancak arama yoluyla oldukça spesifik ve bulmak zordur. Bu bağlantı da kapsamlı bir cevap sunmazken, bu tehdit böyle bir yakınlaşmaya benziyor. Gelecekte referans olarak açık bırakılması gerektiğini düşünüyorum.

— Tim

Bu durumun tersini düşünmek yardımcı olabilir. Let be herhangi rasgele değişken ve let herhangi bir pozitif reel sayı. Aksi halde, tüm bu olasılıkları ayrık olaylar üzerine toplayarak, olan sınırlı sayıda - toplam olasılığın en azından olduğu sonucuna varacaksınız.

sonunda aşan,

. (Bu gerçek sayıların Arşimet özelliğidir .) Bu akıl yürütme sadece üç aksiyom kullanır : ayrık olayların olasılıkları eklenir, toplam olasılık

ve Arşimet aksiyomudur.

X

$X$

ϵ

$\epsilon$

ω

$\omega$

Pr (X = ω) \geq ϵ

$\Pr(X=\omega)\ge\epsilon$

ϵ + ϵ + \dots

$\epsilon+\epsilon+\cdots$

1

$1$

1

$1$

— whuber

@Tim Teşekkür ederim, ancak bu düşünceyi bir cevaptan ziyade bir yorum olarak gönderdim, çünkü eksik: Sınırda ne olduğunu

olarak açıklamak için temel bir yol bulamadım

ϵ \to 0

$\epsilon\to 0$ . Sonsuz kümelerin kardinaliteleri hakkında bilgi gerektiriyor gibi görünüyor.

— whuber

@ Xi'an Kabul ediyorum, ancak önerdiğiniz konu yeterince yakın bir kopya değil. Bu aramak zor bir şey. Belki de bu soruyu yineleyen diğer konuların farkında mısınız?

— whuber

Yanıtlar:

Olasılıklar, göreli gözlem sıklığı için modellerdir . Bir olay denemelerinde kez meydana geldiği gözlemlenirse , göreli sıklığı ve genellikle, yukarıdaki oran "büyük" olduğunda yakın bir yaklaşımdır, burada "büyük" ile kastedilen en iyi okuyucunun hayal gücüne (ve güvenilirliğine) bırakılır. $A$ $N_A$ $N$

relative frequency of (A) = \frac{N_{A}}{N}

$\text{relative frequency of }(A) = \frac{N_A}{N}$

P (A)

$P(A)$ $N$

Şimdi, eğer modelimiz sürekli rasgele bir değişkense, örneklerinin ayrı sayı olduğu . Bu nedenle, belirli bir sayısının göreli frekansı (veya daha bilgili bir şekilde, ) olayı , birinin değeri varsa veya tüm farklıysa olur. den . Daha şüpheci okuyucu ek toplar ise örnekleri, olayın göreceli sıklığını ya da bir $X$ $X$ $\{x_1, x_2, \ldots, x_N\}$ $N$ $x$ $\{X = x\}$ $\frac 1N$ $x_i$ $x$ $\frac 0N$ $x_i$ $x$ $N$ $\{X=x\}$ $\frac{1}{2N}$ veya değerinin keyfini çıkarmaya devam ediyor . Bu nedenle, gözlemlenen nispi frekansa iyi bir yaklaşım olduğundan, a değeri atanması tahmin edilir. $\frac 0N$ $P\{X = x\}$ $0$

Not: yukarıdaki açıklama (genellikle) mühendisler ve olasılık ve istatistiklerin uygulanmasıyla ilgilenen diğer kişiler için tatmin edicidir (yani, olasılık aksiyomlarının teoriyi iyi bir gerçeklik modeli yapacak şekilde seçildiğine inananlar ), ancak tamamen tatmin edici değildir. diğerlerine. Tamamen matematiksel bir ya da istatistiki açıdan soru yaklaşım ve de mümkündür ispat bu gereken değeri olduğunda olasılık aksiyomlarından mantıksal kesintiler ile sürekli bir rasgele değişken olduğunu ve herhangi bir referans olmadan göreceli frekans veya fiziksel gözlemler vb. $P\{X = x\}$ $0$ $X$

— Dilip Sarwate
kaynak

+1 "Not: yukarıdaki açıklama ... için ... olasılık aksiyomlarının teoriyi iyi bir gerçeklik modeli yapacak şekilde seçildiğine inananlar), ama tamamen tatmin edici değil ..." internetin tercih edilen ifadesi, lol.

— gung - Monica'yı eski

Ben tarafından demek istiyorsun anlamadım o gözlenmiştir ki eğer sürekli, daha sonra ... $X$ . Bunu nasıl gözlemleyebiliriz?

— Stéphane Laurent

@ StéphaneLaurent Bu cümle biraz karmaşıktır, bu yüzden yeniden okumayı gerektirir. Bazı parantez açıklamalarından arındırılmış, "... numunelerin ... farklı sayı olduğu gözlemlenmiştir" diyor . Başka bir deyişle, sürekli bir dağılımı olduğu varsayıldığında , (neredeyse kesin olarak) herhangi bir sonlu iid örneğinde kopya olmayacaktır . Bu matematiksel olarak kanıtlanabilir: sadece bir gözlem değil.

N

$N$ $X$

X

$X$

— whuber

@ StéphaneLaurent Bence Dilip'in sözleri bundan daha farklı bir ruhla yapılıyor. Bu cevap, matematiksel olarak titiz bir gösteri sağlamak için bir çaba değil, OP'yi şaşırtan bir gerçek için bazı sezgi ve motivasyon sağlamaktır. Bu yaklaşıma meraklıyım çünkü geleneksel olarak yeni başlayanlara öğretilen ayrı olasılık teorisi ile ölçü teorisine dayanan daha zengin olasılık teorisi arasındaki boşluğu kapatmak gibi bir potansiyele sahip.

— whuber

@whuber Ruhu anlıyorum, ama ilk bakışta bağsızlık özelliğinin sıfır olasılık özelliğinden daha sezgisel olduğuna ikna olmadım. İçin ": Bu aynı şey gerçekten " .

N = 2

$N=2$

x_{2} is never x_{1}

$x_2 \text{ is never } x_1$

⟺

$\iff$

Pr (X_{2} = x_{1}) = 0

$\Pr(X_2=x_1)=0$

— Stéphane Laurent

Let altında yatan olasılık uzay. tarafından tanımlanan olasılık mu üzerinden ölçülebilir bir fonksiyonunun kesinlikle sürekli rastgele bir değişken olduğunu , dağılımı olarak bilinen , Lebesgue ölçüsü hakimdir anlamda, her Borel kümesi için , eğer , o . Bu durumda, Radon-Nikodym teoremi bize ölçülebilir bir olduğunu söyler $(\Omega,\mathscr{F},P)$ $X:\Omega\to\mathbb{R}$ $\mu_X$ $(\mathbb{R},\mathscr{B})$ $\mu_X(B)=P\{X\in B\}$ $X$ $\lambda$ $B$ $\lambda(B)=0$ $\mu_X(B)=0$ $f_X:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , hemen hemen her yerde kadar tanımlanmıştır, öyle ki . Let bir sayılabilir alt kümesi . Yana sayılabilir katkı maddesi, . Ancak her . Gerçek sayıların Arşimet özelliği nedeniyle, olduğundan, eşitsizlik her için ve eğer yalnızca $\mu_X(B)=\int_B f(x)\,d\lambda(x)$ $B=\{x_1,x_2,\dots\}$ $\mathbb{R}$ $\lambda$ $\lambda(B)=\lambda\left(\cup_{i\geq 1}\{x_i\}\right)=\sum_{i\geq 1}\lambda(\{x_i\})$

λ ({x_{i}}) = λ (\cap_{k \geq 1} [x_{i}, x_{i} + 1 / k)) \leq λ ([x_{i}, x_{i} + 1 / n)) = \frac{1}{n}, (*)

$\lambda(\{x_i\}) = \lambda\left(\cap_{k\geq 1}[x_i,x_i+1/k)\right) \leq \lambda\left([x_i,x_i+1/n)\right) = \frac{1}{n} \, ,\qquad (*)$

n \geq 1

$n\geq 1$

λ ({x_{i}}) \geq 0

$\lambda(\{x_i\})\geq 0$

(*)

$(*)$

n \geq 1

$n\geq 1$

λ ({x_{i}}) = 0

$\lambda(\{x_i\})=0$ , ekler . Mutlak sürekliliğini kabul kaynaktan aşağıdaki .

λ (B) = 0

$\lambda(B)=0$

X

$X$

μ_{X} (B) = P {X \in B} = 0

$\mu_X(B)=P\{X\in B\}=0$

— Zen
kaynak

Sürekli rastgele değişkenin kesinlikle sürekli olması gerekmez (yoğunluğu

— olmayabilir

Saçma. "Sürekli rastgele değişken", "Lebesgue ölçüsüne göre kesinlikle sürekli olan rastgele bir değişken" için resmi olmayan bir isimdir. Böylece Radon-Nikodym bir yoğunluğun varlığını garanti eder. Tekil dağılımlı rastgele bir değişken (örn. Cantor) farklı bir şeydir. Sahte yorumlarınızla potansiyel öğrencileri yanlış yönlendiriyorsunuz.

— Zen

Birini eleştirdiğinizde, lütfen atıfta bulunduğunuz alıntıyı gösterin. Hangi olasılık ders kitabı "Sürekli rastgele değişken" in "Lebesgue ölçüsüne göre kesinlikle sürekli olan rastgele bir değişken" için resmi olmayan bir isim olduğunu söyledi ? Buna ek olarak, bu sorun yoğunluğuna ihtiyaç duymadan çözülebilir , aşağıdaki kanıtlarıma bakın.

X

$X$

— Zhanxiong

Wikipedia sizinle aynı fikirde değil, @Solitary: " Sürekli olasılık dağılımı , olasılık yoğunluk fonksiyonu olan bir olasılık dağılımıdır. Matematikçiler de böyle bir dağılımı kesinlikle sürekli olarak adlandırırlar [...]".

— amo

$X$ sürekli rastgele bir değişkendir, dağıtım fonksiyonu sürekli olduğu anlamına gelir . Sahip olduğumuz tek koşul bu ama türetebileceğimiz durum . $F$ $P(X = x) = 0$

Aslında, sürekliliği ile , elimizdeki her için bu nedenle: $F$ $F(x) = F(x-)$ $x \in \mathbb{R}^1$

P (X = x) = P (X \leq x) - P (X < x) = F (x) - F (x -) = 0.

$P(X = x) = P(X \leq x) - P(X < x) = F(x) - F(x-) = 0.$

— Zhanxiong
kaynak

Bir rv dağılımı Cantor ise, dağıtım fonksiyonu süreklidir, ancak tekil bir rastgele değişkendir; sürekli rastgele bir değişken değildir.

X

$X$

X

$X$

— Zen

Arkadaşım, bu aslında benim için değil, kendi cevabına bir örnek olabilir. Böyle bir Singular sürekli rv'nin varlığından beri, dağıtım fonksiyonlarının hepsi sürekli olmasına rağmen, mutlak sürekli rv ve tekil sürekli rv'yi ayırt etmek gerekir . Sürekli rv ve mutlak sürekli rv'yi eşitlemek belirsizdir.

— Zhanxiong

Değil, ama duymayacaksın dostum.

— Zen

Bu arada, aslında her için ise , o zaman her için olduğunu kanıtlıyorsunuz .

P (X = x) = 0

$P(X=x)=0$

x

$x$

P (X = x) = 0

$P(X=x)=0$

x

$x$

— Zen