Nasıl hesaplayabilirim

Kare şeklindeki normal CDF'nin kapalı formda beklentisi nasıl değerlendirilebilir?

E [Φ {(a Z + b)}^{2}] = \int_{- \infty}^{\infty} Φ {(a z + b)}^{2} ϕ (z) d z

$\mathbb{E}\left[\Phi\left(aZ+b\right)^{2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty}\Phi\left(az+b\right)^{2}\phi(z)\,dz$

Burada , gerçek sayılardır, ve ve , sırasıyla standart normal rasgele değişkenin yoğunluk ve dağılım işlevleridir. $a$ $b$ $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ $\phi(\cdot)$ $\Phi(\cdot)$

mathematical-statistics

— Andrei
kaynak

Nerede sıkışıp kalıyorsun? Değerlendirmeye çalıştınız mı? Belki

Var (g (X)) = E [g (X)^{2}] - (E [g (X)])^{2}

$\text{Var}(g(X))=E[g(X)^2]-(E[g(X)])^2$

— 15'te

Parçaları ve diğer (basit) tekniklerle entegrasyonu kullanarak integrali değerlendirmeye çalıştım, ama bu beni hiçbir yere götürmedi. Ayrıca, buraya varmak için varyanstan başladım. Benzer bir soru buldum ( stats.stackexchange.com/questions/61080/… ), ancak kare CDF'ye uzanmak önemsiz görünmüyor.

— Andrei

Kutupsal koordinatlar kullanmayı düşündünüz mü?

— İstatistiklerÖğrenci

Hayır, biraz ayrıntı verebilir misiniz?

— Andrei

Eğer

, daha sonra

ikinci bir an daha sonra 0 ile 1 arasında eşit olarak dağıtılır

. Genel

için istediğin gibi bir şey hesaplamaya çalıştığımı hatırlıyorum , ancak kapalı form çözümleri bulamadım.

b = 0

$b=0$

a = 1

$a=1$

Φ (Z)

$\Phi(Z)$

1 / 3

$1/3$

a

$a$

b

$b$

— StijnDeVuyst

Yukarıdaki yorumumda belirtildiği gibi, Gauss fonksiyonlarının integrallerinin listesi için Wikipedia'ya bakın. İşaretinizi kullanarak burada,tanımlanan Owen's T işlevidir.

\int_{- \infty}^{\infty} Φ (a z + b)^{2} ϕ (z) d z = Φ (\frac{b}{\sqrt{1 + a^{2}}}) - 2 T (\frac{b}{\sqrt{1 + a^{2}}}, \frac{1}{\sqrt{1 + 2 a^{2}}}),

$\int_{-\infty}^{\infty} \Phi (az+b)^2 \phi(z) dz=\Phi \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}} }\right) - 2T \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}}} \ , {{1} \over {\sqrt{1+2a^2}}} \right) ,$

T (h, q)

$T(h,q)$

T (h, q) = ϕ (h) \int_{0}^{q} \frac{ϕ (h x)}{1 + x^{2}} d x

$T(h,q)=\phi(h) \int_0^q {{\phi(hx) } \over {1+x^2}} dx$

Daha sonra fişi varsa alırsınız $a=1,b=0$ yorum belirtmeniz gerektiği gibi. $1 \over 3$

— soakley
kaynak

Çok teşekkür ederim, tam da aradığım şey buydu.

— Andrei