Cohen'in istatistiğinin varyansı

Cohen'in $d$ , bir efektin boyutunu ölçmenin en yaygın yollarından biridir ( Wikipedia'ya bakın ). Sadece iki yol arasındaki mesafeyi toplanmış standart sapma açısından ölçer. Cohen'in d varyans tahmininin matematiksel formülünü nasıl türetebiliriz $d$?

Aralık 2015 edit: Bu soru ile ilgili d etrafında güven aralıklarının hesaplanması fikri . Bu makalede ,$d$

$$\sigma_{d}^2 = \dfrac{n_{+}}{n_{\times}} + \dfrac{d^2}{2n_{+}}$$

burada $n_{+}$ iki örnek büyüklüğünün toplamı ve $n_{\times}$ iki örnek büyüklüğünün ürünüdür.

Bu formül nasıl türetilir?

Sorudaki varyans ifadesinin yaklaşık olduğunu unutmayın. Hedges (1981) , genel bir ortamda (yani çoklu deneyler / çalışmalar) büyük örnek ve yaklaşık varyansı türetmiştir ve cevabım hemen hemen kağıttaki türevlerden geçmektedir.$d$

İlk olarak, kullanacağımız varsayımlar şunlardır:

Diyelim ki iki bağımsız tedavi grubumuz var, (tedavi) ve (kontrol). Let ve ne denekten puanları / yanıtlar / olmak grubu olarak ve söz konusu grup , sırasıyla.C Y T i Y C j i T $T$$C$$Y_{Ti}$$Y_{Cj}$$i$$T$$j$$C$

Yanıtların normal olarak dağıldığını ve tedavi ve kontrol gruplarının ortak bir varyasyonu paylaştığını varsayıyoruz, yani

$$\begin{align*} Y_{Ti} &\sim N(\mu_T, \sigma^2), \quad i = 1, \dots n_T \\ Y_{Cj} &\sim N(\mu_C, \sigma^2), \quad j = 1, \dots n_C \end{align*}$$

Her çalışmada tahmin etmek istediğimiz etki büyüklüğü . Kullanacağımız efekt büyüklüğünün tahmincisi burada , grubu için tarafsız örnek varyanstır . $\delta = \frac{\mu_T - \mu_C}{\sigma}$

$$\begin{equation*} d = \frac{\bar{Y}_T - \bar{Y}_C}{\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \end{equation*}$$ $S_k^2$$k$

En Büyük örnekler özelliklerini ele alalım . $d$

İlk olarak şunu unutmayın: ve (gösterimimle birlikte gevşek): ve

$$\begin{equation*} \bar{Y}_T - \bar{Y}_C \sim N \Bigg( \mu_T - \mu_C, \,\sigma^2\frac{n_T + n_C}{n_T n_C} \Bigg) \end{equation*}$$ $$\begin{equation} \frac{(n_T - 1)S_T^{2}}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)} = \frac{1}{n_T + n_C - 2}\frac{(n_T - 1)S_T^{2}}{\sigma^2} \sim \frac{1}{n_T + n_C- 2}\chi_{n_T - 1}^2 \tag{1} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{(n_C - 1)S_C^{2}}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)} = \frac{1}{n_T + n_C - 2}\frac{(n_C - 1)S_C^{2}}{\sigma^2} \sim \frac{1}{n_T + n_C- 2}\chi_{n_C - 1}^2 \tag{2} \end{equation}$$

Denklemler (1) ve (2) (yine, benim gösterimimle gevşek olmak):

$$\begin{equation*} \frac{1}{\sigma^2}\frac{(n_T - 1)S_T^{2} + (n_C - 1)S_C^{2}}{n_T + n_C - 2} \sim \frac{1}{n_T + n_C - 2}\chi_{n_T + n_C - 2}^2 \end{equation*}$$

Şimdi, bazı akıllı cebirler: burada

$$\begin{align*} d &= \frac{\bar{Y}_T - \bar{Y}_C}{\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \\\\ &= \frac{\left(\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}(\bar{Y}_T - \bar{Y}_C)}{\left(\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \\\\ &= \frac{\frac{(\bar{Y}_T - \bar{Y}_C) - (\mu_T - \mu_C)}{\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}} + \frac{\mu_T - \mu_C}{\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}}}{\left(\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)}}} \\\\ &= \sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\left(\frac{\theta + \delta\sqrt{\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}}}{\sqrt{\frac{V}{\nu}}}\right) \end{align*}$$ $\theta \sim N(0,1)$, ve . Bu nedenle, , serbestlik derecesi ve merkeziyetsiz parametresi ile merkezi olmayan bir t dağılımını izleyen bir değişkendir. .$V \sim \chi^2_{\nu}$$\nu = n_T+n_C-2$$d$$\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}$$n_T + n_C - 2$$\delta\sqrt{\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}}$

Merkezi olmayan dağılımının moment özelliklerini$t$ kullanarak şöyle olur: burada

$$\begin{equation*} \mathrm{Var}(d) = \frac{(n_T + n_C - 2)}{(n_T + n_C - 4)}\frac{(n_T + n_C)}{n_T n_C}(1+ \delta^2\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}) - \frac{\delta^2}{b^2} \tag{3} \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} b = \frac{\Gamma\left(\frac{n_T + n_C - 2}{2}\right)}{\sqrt{\frac{n_T+n_C-2}{2}}\Gamma\left(\frac{n_T+n_C-3}{2}\right)} \approx 1 - \frac{3}{4(n_T+n_C-2)-1} \end{equation*}$$

Denklem (3) tam olarak büyük örnek varyansını sağlar. için tarafsız bir tahmin edicinin varyans ile olduğuna dikkat edin :$\delta$$b d$

$$\begin{equation*} \mathrm{Var}(bd) = b^2\frac{(n_T + n_C - 2)}{(n_T + n_C - 4)}\frac{(n_T + n_C)}{n_T n_C}(1+ \delta^2\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}) - \delta^2 \end{equation*}$$

Büyük serbestlik dereceleri için (yani büyük ), merkezi olmayan bir değişkeninin serbestlik derecesi ve merkeziyetçilik dışı parametre değişimi ( Johnson, Kotz, Balakrishnan, 1995 ). Bu nedenle: $n_T+n_C-2$$t$$\nu$$p$$1 + \frac{p^2}{2\nu}$

$$\begin{align*} \mathrm{Var}(d) &\approx \frac{n_T + n_C}{n_T n_C}\left(1 + \frac{\delta^2\left(\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}\right)}{2(n_T+n_C-2)}\right) \\\\ &= \frac{n_T + n_C}{n_T n_C} + \frac{\delta^2}{2(n_T+n_C-2)} \end{align*}$$

için tahmincimizi takın ve işimiz bitti.$\delta$