Dönüştürülen değişkenin yoğunluğu için sezgisel açıklama?

pdf ile rastgele bir değişken olduğunu varsayalım . Sonra rasgele değişkeni pdf’e sahiptir. $X$ $f_X(x)$ $Y=X^2$

f_{Y} (y) = {\begin{cases} \frac{1}{2 \sqrt{y}} (f_{X} (\sqrt{y}) + f_{X} (- \sqrt{y})) & y \geq 0 \\ 0 & y < 0 \end{cases}

$f_Y(y)=\begin{cases}\frac{1}{2\sqrt{y}}\left(f_X(\sqrt{y})+f_X(-\sqrt{y})\right) & y \ge 0 \\ 0 & y \lt 0\end{cases}$

Bunun arkasındaki hesabı anlıyorum. Ama hesabı bilmeyen birine anlatmanın bir yolunu düşünmeye çalışıyorum. Özellikle, neden faktörünün ön tarafta göründüğünü açıklamaya çalışıyorum . Onu bıçaklayacağım: $\frac{1}{\sqrt{y}}$

bir Gauss dağılımına sahip olduğunu varsayalım . Hemen hemen pdf ağırlığının tümü ve değerler arasında Fakat bu için 0 ile 9 arasında . Bu nedenle, için pdf'deki ağır ağırlık, dönüşümde daha geniş bir değer aralığında genişletildi . Bu nedenle, nin gerçek bir pdf olması için, ekstra ağır ağırlığın çarpımsal faktörü ile hafifletilmesi gerekir. $X$ $-3$ $3.$ $Y$ $X$ $Y$ $f_Y(y)$ $\frac{1}{\sqrt{y}}$

Bu nasıl ses geliyor?

Birisi kendi veya daha iyi bir açıklama sağlayabilir bir belge veya ders kitabındaki birine bağlantı verebilirseniz çok takdir ediyorum. Bu değişken dönüşüm örneğini birkaç matematiksel olasılık / istatistik kitabında buluyorum. Ama onunla asla sezgisel bir açıklama bulamıyorum :(

random-variable pdf intuition

— lowndrul
kaynak

Bence açıklaman doğru.

— Bant Genişliği

Açıklama doğru, ancak tamamen niteliksel: çarpımsal faktörün kesin şekli hala bir gizem. -1/2 gücü sihirli bir şekilde görünür. Bu nedenle, bir seviyede, Calculus'un yaptığı şeyi yapmak zorundasınız: karekök fonksiyonunun değişim oranını bulmak.

— whuber

Yanıtlar:

PDF'ler yüksekler ancak alan aracılığıyla olasılığı göstermek için kullanılırlar. Bu nedenle, bir PDF'nin bize, alanın yükseklik zaman tabanına eşit olduğunu hatırlatacak şekilde ifade edilmesine yardımcı olur.

Başlangıçta herhangi bir değerdeki yüksekliği PDF tarafından verilir . Taban sonsuz küçük segment , bu nedenle dağılım (yani, dağıtım fonksiyonunun tersine olasılık ölçüsü ) gerçekten diferansiyel formdur veya "olasılık elemanı" dır. $x$ $f_X(x)$ $dx$

{PE}_{X} (x) = f_{X} (x) d x .

$\operatorname{PE}_X(x) = f_X(x) \, dx.$

PDF yerine bu, hem kavramsal hem de pratik olarak çalışmak istediğiniz nesnedir, çünkü açıkça bir olasılığı ifade etmek için gereken tüm unsurları içerir .

Biz-ekspres tekrar zaman cinsinden , taban segmentleri gerilmiş (ya da sıkıştırılmış) olsun: aralığın her iki ucu karesi alınarak için biz baz görüyoruz alanı olmalıdır uzunluk aralığı $x$ $y = x^2$ $dx$ $x$ $x + dx$ $y$

d y = (x + d x)^{2} - x^{2} = 2 x d x + (d x)^{2} .

$dy = (x + dx)^2 - x^2 = 2 x \, dx + (dx)^2.$

İki sonsuz öğenin ürünü, sonsuz öğelerin kendilerine göre ihmal edilebilir olduğundan,

d y = 2 x d x, whence d x = \frac{d y}{2 x} = \frac{d y}{2 \sqrt{y}} .

$dy = 2 x \, dx, \text{ whence }dx = \frac{dy}{2x} = \frac{dy}{2\sqrt{y}}.$

Bunu oluşturduktan sonra hesaplama önemsizdir, çünkü yeni yüksekliği ve yeni genişliği takarız:

{PE}_{X} (x) = f_{X} (x) d x = f_{X} (\sqrt{y}) \frac{d y}{2 \sqrt{y}} = {PE}_{Y} (y) .

$\operatorname{PE}_X(x) = f_X(x) \, dx = f_X(\sqrt{y}) \frac{dy}{2\sqrt{y}} = \operatorname{PE}_Y(y).$

Bakımından taban Çünkü olduğunu ne olursa olsun çarpar biz orta bir terim olarak kapalı doğrudan okuyabilir yüksekliği olmalıdır $y$ $dy$

\frac{1}{2 \sqrt{y}} f_{X} (\sqrt{y}) = f_{Y} (y) .

$\frac{1}{2\sqrt{y}}f_X(\sqrt{y}) = f_Y(y).$

Bu etkili bir alan (= olasılık) yasasının korunumudur. $\operatorname{PE}_X(x) = \operatorname{PE}_Y(y)$

İki pdfs

Bu grafik, ile ilişkili iki PDF'nin dar (neredeyse sonsuz) parçalarını doğru bir şekilde gösterir . Olasılıklar gölgeli alanlar ile temsil edilir. Aralığın karenin kare şeklinde sıkıştırılmasından dolayı , kırmızı bölgenin yüksekliği ( , solda), mavi bölgenin alanıyla ( , sağda) eşleşecek şekilde orantılı olarak genişletilmelidir . $y=x^2$ $[0.32, 0.45]$ $y$ $x$

— whuber
kaynak

Sonsuz resimleri severim. Bu harika bir açıklama. Açısından düşünme açıkça dönüşümü türevi ortaya görülebilir, açısından düşünce çok daha sezgisel . Sanırım yapışma noktam orasıydı.

2 x

$2x$

\sqrt{y}

$\sqrt{y}$

— lowndrul,

@whuber, ilk satırın olması gerektiğine inanıyorum ? ne demek istiyorsun ? Not: Ayrıca cevabım hakkındaki düşüncelerinizi de merak ediyorum (aşağıda).

P (X \in (x, x + d x)) = f_{x} (x) d x

$P(X \in (x, x + dx)) = f_{x}(x)dx$

{pdf}_{X} (x)

$\text{pdf}_{X}(x)$

— Carlos Cinelli,

@Carlos Fikri başlangıçta yaptığım gibi ifade etmek biraz daha zordur: PDF, verilen olasılık ölçüsünü elde etmek için Lebesgue ölçüsünü çarpmanızın .

d x

$\mathrm{d}x$

— whuber

@whuber ama eğer pdf çoğalttığınız şeyse, o zaman terimi , ürünü değil , değil mi? Neden ürünü a pdf olarak adlandırdığınız belli değil.

f_{X} (x)

$f_{X}(x)$

f_{x} (x) d x

$f_{x}(x)dx$

f_{X} (x) d x

$f_{X}(x)dx$

— Carlos Cinelli

@Carlos: teşekkür ederim; şimdi amacını anlıyorum. Bunu ele almak için bazı düzenlemeler yaptım.

— whuber

Her zaman kare olan nesneler üretersem ve karelerin yan uzunluklarının dağılımını biliyorum; Karelerin alanlarının dağılımı hakkında ne söyleyebilirim?

Özellikle, eğer rastgele bir değişkeninin dağılımını biliyorsanız, hakkında ne söyleyebilirim ? Söyleyebileceğin bir şey var. $X$ $Y = X^{2}$

\begin{aligned} F_{Y} (c) & = & P (Y \leq c) \\ = & P (X^{2} \leq c) \\ = & P (- \sqrt{c} \leq X \leq \sqrt{c}) \\ = & F_{X} (\sqrt{c}) - F_{X} (- \sqrt{c}) . \end{aligned}

$\eqalign{ F_{Y} (c) & = & P( Y \le c ) \\ & = & P( X^{2} \le c ) \\ & = & P ( - \sqrt{c} \le X \le \sqrt{c}) \\ & = & F_{X}( \sqrt{c} ) - F_{X}( - \sqrt{c} ). \\ }$

Böylece, CDF'si ile CDF'si arasında bir ilişki kurulur ; PDF'leri arasındaki ilişki nedir? Bunun için hesabımıza ihtiyacımız var. Her iki tarafın türevlerini almak size istediğiniz sonuçları verir. $Y$ $X$

— schenectady
kaynak

(+1) Her ne kadar bu tam bir cevap olmasa da, bulma konusunda iyi bir yol sunar ve neden her bir karekök için bir tane olmak üzere iki parça toplamı olduğunu açıkça gösterir.

f_{Y}

$f_Y$

— whuber

Neden bilmiyorum pdf (x) = f (x) dx. Pdf (x) dx = f (x) 'den density = prob mass/intervalne haber , yanlış ne yapıyorum?

— Fernando,

Bir popülasyonumuz olduğunu ve bu popülasyonun bir özeti olduğunu düşünün . Daha sonra değişken olan kişilerin oranı sayma aralığında . Bunu büyüklüğünde bir "kutu" olarak düşünebilirsiniz ve bu kutunun içinde kaç kişinin olduğunu sayıyoruz. $Y$ $P(Y \in (y, y + \Delta y))$ $Y$ $(y, y + \Delta y)$ $\Delta y$

Şimdi bu bireyleri başka bir değişken olan yeniden ifade edelim . ve ile ilişkili olduğunu bildiğimize göre , olayı , olayı ile aynıdır olayıyla aynıdır . Bu nedenle, çöp tenekesindeki bireyler de ve . Başka bir deyişle, bu çöp kutuları aynı oranda kişilere sahip olmalı, $X$ $Y$ $X$ $Y = X^2$ $Y\in (y, y + \Delta y)$ $X^2 \in (x^2, (x + \Delta x)^2)$ $X \in (|x|, |x| + \Delta x)~ \text{or}~ X \in (- |x| -\Delta x, -|x| )$ $(y, y + \Delta y)$ $(|x|, |x| + \Delta x)$ $(- |x| -\Delta x, -|x| )$

\begin{aligned} P (Y \in (y, y + Δ y)) & = P (X \in (| x |, | x | + Δ x)) + P (X \in (- | x | - Δ x, - | x |)) \end{aligned}

$\begin{align} P(Y \in (y, y + \Delta y)) &=P\left( X \in (|x|, |x| + \Delta x) \right) + P\left( X \in (- |x| -\Delta x, -|x| )\right) \end{align}$

Tamam, şimdi yoğunluğa ulaşalım. İlk önce, olasılık yoğunluğunun ne olduğunu tanımlamamız gerekir . Adından da anlaşılacağı gibi, alan başına bireylerin oranıdır . Olduğunu, o bin üzerinde bireylerin payı saymak tarafından ve bölünmenin bin boyutuna . İnsanların oranlarının burada aynı olduğunu tespit ettiğimizden, ancak kutuların büyüklüğü değiştiğinden, yoğunluğun farklı olacağı sonucuna varıyoruz. Ama ne kadar farklı?

Biz bahsedilen olarak, olasılık yoğunluk ve böylece yoğunluğu kutusu boyutuna bölünmesiyle bin kişilerin oranı olan ile verilmektedir . Benzer şekilde, olasılık yoğunluk ile verilir . $Y$ $f_Y(y):=\frac{P(Y \in (y, y + \Delta y))}{\Delta y}$ $X$ $f_X(x):=\frac{P(X \in (x, x + \Delta x))}{\Delta x}$

Önceki sonucumuza göre, her bir çöp tenekesindeki nüfus aynıymış.

\begin{aligned} f_{Y} (y) := \frac{P (Y \in (y, y + Δ y))}{Δ y} & = \frac{P (X \in (| x |, | x | + Δ x)) + P (X \in (- | x | - Δ x, - | x |))}{Δ y} \\ = \frac{f_{X} (| x |) Δ x + f_{X} (- | x |) Δ x}{Δ y} \\ = \frac{Δ x}{Δ y} (f_{X} (| x |) + f_{X} (- | x |)) \\ = \frac{Δ x}{Δ y} (f_{X} (\sqrt{y}) + f_{X} (- \sqrt{y})) \end{aligned}

$\begin{align} f_Y(y):=\frac{P(Y \in (y, y + \Delta y))}{\Delta y} &= \frac{P\left( X \in (|x|, |x| + \Delta x) \right) + P\left( X \in (- |x| - \Delta x, -|x| )\right)}{\Delta y} \\ &= \frac{f_X(|x|)\Delta x + f_{X}(-|x|)\Delta x}{\Delta y}\\ &= \frac{\Delta x}{\Delta y} \left(f_X(|x|) + f_{X}(-|x|) \right)\\ &= \frac{\Delta x}{\Delta y} \left(f_X(\sqrt{y}) + f_{X}(-\sqrt{y}) \right) \end{align}$

Yani, yoğunluğu, göreceli boyutu olan faktörüne göre değişir veya çöp kutusu boyutunu sıkma. Bizim durumumuzda olduğundan . Eğer görmezden küçücük yeterlidir anlamına gelir, ve ve bu nedenle faktörü dönüşümde ortaya çıkmaktadır. $f_X(\sqrt{y}) + f_{X}(-\sqrt{y})$ $\frac{\Delta x}{\Delta y}$ $y = x^2$ $y + \Delta y = (x + \Delta x )^2 = x^2 + 2x \Delta x + \Delta x^2$ $\Delta x$ $\Delta x ^2$ $\Delta y = 2x \Delta x$ $\frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{1}{2x} = \frac{1}{2 \sqrt{y}}$ $\frac{1}{2 \sqrt{y}}$

— Carlos Cinelli
kaynak