Toplam olana kadar 6 taraflı bir kalıp . aşıldığı ortalama miktar ?

İşte soru:

Adil bir 6-taraflı zar zar zarlarının toplamı M'ye eşit veya ondan büyük olana kadar tekrarlanır. M = 300 olduğunda toplam eksi M'nin ortalama ve standart sapması nedir?

Bu tür soruları cevaplamak için bir kod yazmalı mıyım?

Lütfen bana bununla ilgili bazı ipuçları verin. Teşekkürler!

Kesinlikle kod kullanabilirsiniz, ancak simüle etmem.

"Eksi M" bölümünü görmezden geleceğim (sonunda bunu kolayca yapabilirsiniz).

Olasılıkları özyinelemeli olarak çok kolay bir şekilde hesaplayabilirsiniz, ancak gerçek cevap (çok yüksek doğruluk derecesine kadar) basit akıl yürütmeden hesaplanabilir.

Rulolar . Let .S t = ∑ t i = 1 X $X_1, X_2, ...$$S_t=\sum_{i=1}^t X_i$

Let küçük indeksi .S τ ≥ $\tau$$S_\tau\geq M$

$P(S_\tau=M)=P(\text{got to }M-6\text{ at }\tau-1\text{ and rolled a }6) \\\qquad\qquad\qquad+ P(\text{got to }M-5\text{ at }\tau-1\text{ and rolled a }5)\\\qquad\qquad\qquad +\:\: \vdots\\\qquad\qquad\qquad+\:P(\text{got to }M-1\text{ at }\tau-1\text{ and rolled a }1)\\ \qquad\qquad\quad=\frac{1}{6}\sum_{j=1}^6 P(S_{\tau-1}=M-j)$

benzer şekilde

$P(S_\tau=M+1)=\frac{1}{6}\sum_{j=1}^5 P(S_{\tau-1}=M-j)$

$P(S_\tau=M+2)=\frac{1}{6}\sum_{j=1}^4 P(S_{\tau-1}=M-j)$

$P(S_\tau=M+3)=\frac{1}{6}\sum_{j=1}^3 P(S_{\tau-1}=M-j)$

$P(S_\tau=M+4)=\frac{1}{6}\sum_{j=1}^2 P(S_{\tau-1}=M-j)$

$P(S_\tau=M+5)=\frac{1}{6} P(S_{\tau-1}=M-1)$

İlk duruma benzer denklemler (en azından prensip olarak), başlangıç ​​koşulları ile istediğimiz olasılıklar arasında cebirsel bir ilişki elde etmek için başlangıç ​​koşullarından herhangi birine ulaşıncaya kadar tekrar çalıştırılabilir (bu sıkıcı ve özellikle aydınlatıcı değildir) veya ilgili ileriye doğru denklemleri oluşturabilir ve sayısal olarak yapılması kolay olan (ve cevabımı nasıl kontrol ettiğimi) başlangıç ​​koşullarından ileriye doğru çalıştırabilirsiniz. Ancak, tüm bunlardan kaçınabiliriz.

Puanların olasılıkları, önceki olasılıkların ağırlıklı ortalamalarını çalıştırmaktadır; bunlar (geometrik olarak hızlı bir şekilde) ilk dağılımdan olasılıktaki herhangi bir değişikliği düzeltir (sorunumuzda tüm olasılık sıfır noktasında).

Yaklaşık bir (çok doğru bir) için biz söyleyebiliriz için seferde neredeyse eşit muhtemel olmalıdır (gerçekten yakın ona) ve bu yüzden biz olasılıklar yazabilirsin yukarıda basit oranlarda olmaya çok yakın olacak ve normalleştirilmeleri gerektiğinden, olasılıkları yazabiliriz.$M-6$$M-1$$\tau-1$

Söylemeye gerek Hangisi biz başlayarak olasılıkları eğer görebilirsiniz için tam eşit edildi oraya almanın 6 eşit olasılıkla yollarıdır almanın, 5 ve böylece için üzerinde aşağı ulaşmanın 1 yolu .$M-6$$M-1$$M$$M+1$$M+5$

Yani, olasılıklar 6: 5: 4: 3: 2: 1 oranındadır ve 1'e eşittir, bu yüzden yazmak önemsizdir.

(Ben R yaptım) sıfırdan ileri olasılık recursions çalıştırarak (kapalı hatalar biriken sayısal tura kadar) tam olarak hesaplanması sırasına farklılıkları verir .Machine$double.eps( , demek ki yukarıdaki yaklaşım benim makinede) ( yukarıdaki satırlar boyunca basit akıl yürütme, kesin cevapların etkili olmasını beklediğimiz gibi özyineleme ile hesaplanan cevaplara yakın olduklarından etkili bir şekilde kesin cevaplar verir ).$\approx$2.22e-16

İşte bunun için benim kod (çoğu sadece değişkenleri başlatmak, işin hepsi bir satırda). Kod ilk rulodan sonra başlar (R ile başa çıkmak için küçük bir sıkıntı olan 0 hücresine koymamı sağlamak için); her adımda, işgal edilebilecek en düşük hücreyi alır ve bir kalıp silindiri ile ilerler (bu hücrenin olasılığını sonraki 6 hücreye yayar):

 p = array(data = 0, dim = 305)
 d6 = rep(1/6,6)
 i6 = 1:6
 p[i6] = d6
 for (i in 1:299) p[i+i6] = p[i+i6] + p[i]*d6

(Kullanabileceğimiz rollapply(den zooama ben açık tutarsan çevirmek daha kolay olacak daha verimli bir şekilde yapmak) - - ya da diğer tür fonksiyonları bir sayı)

Bunun d61'den 6'ya kadar ayrı bir olasılık işlevi olduğuna dikkat edin , bu nedenle son satırdaki döngünün içindeki kod, önceki değerlerin çalışan ağırlıklı ortalamalarını oluşturuyor. Bu ilişki olasılıkları yumuşatır (ilgilendiğimiz son birkaç değere kadar).

İşte ilk 50 tek değer (daire ile işaretlenmiş ilk 25 değer). Her , y eksenindeki değer, onu sonraki 6 hücreye doğru ilerletmeden önce en arkadaki hücrede biriken olasılığı temsil eder.$t$

Gördüğünüz gibi pürüzsüzleşir ( , her kalıp rulosunun sizi attığı adım sayısının ortası) oldukça hızlı ve sabit kalır.$1/\mu$

Ve çarptığımızda , bu olasılıklar düşer (çünkü ve ötesindeki değerlerin olasılığını sırayla koymayız)$M$$M$

Bu nedenle, kadar olan değerlerin eşit derecede olası olması gerektiği için, başlangıç ​​koşullarından gelen dalgalanmaların yumuşatılacağı açıkça görülmektedir.$M-1$$M-6$

Akıl yürütme, başlangıç ​​koşullarının yıkanmasına yetecek kadar büyük olmadığından, ila zamanında neredeyse eşit derecede olası olması nedeniyle , dağıtım esasen herhangi biri için aynı olacaktır. Henry yorumlarda önerdiği gibi büyük$M$$M-1$$M-6$$\tau-1$$M$

Geriye dönüp bakıldığında, Henry'nin (bu da sizin sorunuzdadır) toplam eksi M ile çalışma ipucu biraz çaba harcayacaktır, ancak argüman çok benzer çizgileri izleyecektir. izin vererek ve önceki değerlere ile ilgili benzer denklemler yazarak devam edebilirsiniz.$R_t=S_t-M$$R_0$

Olasılık dağılımından, olasılıkların ortalaması ve varyansı basittir.

Düzenleme: Ben son konum eksi asimptotik ortalama ve standart sapma vermek gerekir varsayalım :$M$

Asimptotik ortalama fazlalık ve standart sapma . At önemsediğiniz için olasıdır daha bu çok daha büyük bir dereceye kadar doğrudur.$\frac{5}{3}$$\frac{2\sqrt 5}{3}$$M=300$

Let (her dizi başlayarak zar rulo kısmi toplamlarının dizilerin kümesi ). Herhangi bir tamsayısı için , , sırayla göründüğü olay olsun ; yani,$\Omega$$0$$n$$E_n$$n$

$$E_n = \{\omega\in\Omega\,|\, n \in \omega\}.$$

değerini içinde eşit veya aşan ilk değer olarak tanımlayın . Soru özelliklerini sorar . tam dağılımını elde edebiliriz ve bundan her şey takip eder.$X_M(\omega)$$\omega$$M$$X_M-M$$X_M$

İlk olarak, . Olay bölümleme ile olarak, hemen önceki değerine göre ve izin yüz ifadesi ihtimali olduğu kalıbının bir rulo ( ),$X_M(\omega) - M \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$$X_M - M = k$$\omega$$p(i) = 1/6$$i$$i=1, 2, 3, 4, 5, 6$

$$\Pr(X_M - M = k) = \sum_{j=k}^6 \Pr(E_{M+k-j}) p(j) = \frac{1}{6} \sum_{j=k}^6 \Pr(E_{M+k-j}).$$

Bu noktada buluşsal olarak, en küçük , herkes için çok iyi bir yaklaşım olduğunu iddia edebilirizBunun nedeni, bir rulonun beklenen değerinin ve karşılıklılığının belirli bir değerin sınırlayıcı, kararlı uzun çalışma frekansı olması gerektiğidir .$M$

$$\Pr(E_i) \approx 2/7.$$ $(1+2+3+4+5+6)/6 = 7/2$$\omega$

Bunu göstermenin titiz bir yolu, nasıl olabileceğini dikkate alır . Ya oluşur ve sonraki rulo ; veya oluşur ve sonraki rulo bir ; ... ya meydana gelir ve daha sonra rulo olarak . Bu, olasılıkların,$E_i$$E_{i-1}$$1$$E_{i-2}$$2$$E_{i-6}$$6$

$$\Pr(E_i) = \sum_{j=1}^6 \Pr(E_{i-j}) p(j) = \frac{1}{6} \sum_{j=1}^6 \Pr(E_{i-j}).$$

Bu dizinin başlangıç ​​değerleri:

$$\Pr(E_0) = 1;\quad \Pr(E_{-i}) = 0, i = 1, 2, 3, \ldots .$$

Bu arsa karşı şansı bir sabite yerleşmek ne kadar hızlı gösterir yatay noktalı çizgi ile gösterilir.$\Pr(E_i)$$i$$2/7$

Bu tür özyinelemeli dizilerin standart bir teorisi vardır. Fonksiyonlar, Markov zincirleri veya hatta cebirsel manipülasyon üretilerek geliştirilebilir. Genel sonuç, için kapalı form formülün mevcut olmasıdır. $\Pr(E_i)$ Bir sabitin ve polinomun köklerinin güçlerinin doğrusal bir kombinasyonu olacaktır.$i^\text{th}$

$$x^6 - p(1) x^5 - p(2) x^4 - p(3) x^3 \cdots - p(6) = x^6 - (x^5 + x^4+x^3+x^2+x+1)/6.$$

Bu köklerin en büyük büyüklüğü yaklaşık . Çift kesinlikli kayar nokta gösteriminde, esasen sıfırdır. Bu nedenle, , sabit dışında tümünü tamamen yok sayabiliriz. Bu sabit .$\exp(-0.314368)$$\exp(-36.05)$$i \gg -36.05 / -0.314368 = 115$$2/7$

Sonuç olarak, için , atabileceğiiki tüm pratik amaçlar için , nereden$M = 300 \gg 115$$E_{M+k-j} = 2/7$

$$\Pr(X_M - M = (0,1,2,3,4,5)) = \left(\frac{2}{7}\right)\left(\frac{1}{6}\right)(6,5,4,3,2,1).$$

Bu dağılımın ortalamasını ve varyansını hesaplamak basit ve kolaydır.

---

İşte Rbu sonuçları doğrulamak için bir simülasyon. ile neredeyse 100.000 dizi üretir , değerlerini tablo haline getirir ve sonuçların yukarıdaki ile tutarlı olup olmadığını değerlendirmek için bir testi uygular . p değeri (bu durumda) tutarlı olduklarını gösterecek kadar büyüktür.x 300 - 300 χ 2$M+5 = 305$$X_{300} - 300$$\chi^2$$0.1367$

M <- 300
n.iter <- 1e5
set.seed(17)
n <- ceiling((2/7) * (M + 3*sqrt(M)))
dice <- matrix(ceiling(6*runif(n*n.iter)), n, n.iter)
omega <- apply(dice, 2, cumsum)
omega <- omega[, apply(omega, 2, max) >= M+5]
omega[omega < M] <- NA
x <- apply(omega, 2, min, na.rm=TRUE)
count <- tabulate(x)[0:5+M]
(cbind(count, expected=round((2/7) * (6:1)/6 * length(x), 1)))
chisq.test(count, p=(2/7) * (6:1)/6)