Gauss RV'lerinin toplamı ile Gauss Karışımı arasındaki ilişki

Gauss'luların toplamının Gausslu olduğunu biliyorum. Peki, Gauss'ların bir karışımı nasıl farklı?

Yani, Gauss'ların bir karışımı sadece Gauss'ların bir toplamıdır (her Gauss'un ilgili karıştırma katsayısı ile çarpıldığı yerde) değil mi?

Gauss rastgele değişkenlerinin ağırlıklı toplamı p ∑ i = 1 β i X i bir Gauss rastgele değişkenidir : eğer ( X 1 , … , X p ) ∼ N p ( μ , Σ ) sonra β T ( X 1 , … , X p ) ∼ N 1 ( $X_1,\ldots,X_p$

$$\sum_{i=1}^p \beta_i X_i$$ $$(X_1,\ldots,X_p)\sim\text{N}_p(\mu,\Sigma)$$ $$\beta^\text{T}(X_1,\ldots,X_p)\sim\text{N}_1(\beta^\text{T}\mu,\beta^\text{T}\Sigma\beta)$$

$$f(\cdot;\theta)=\sum_{i=1}^p \omega_i \varphi(\cdot;\mu_i,\sigma_i)$$

[Kaynak: Marin ve Robert, Bayes Çekirdeği , 2007]

$X\sim f(\cdot;\theta)$

$$X=\sum_{i=1}^p \mathbb{I}(Z=i) X_i = X_{Z}$$ $X_i\sim\text{N}_p(\mu_i,\sigma_i)$$Z$$\mathbb{P}(Z=i)=\omega_i$ $$Z\sim\text{M}(1;\omega_1,\ldots,\omega_p)$$

Ve @ Xi'an cevabını tamamlamak için bazı R kodu:

par(mfrow=c(2,1))
nsamples <- 100000

# Sum of two Gaussians
x1 <- rnorm(nsamples, mean=-10, sd=1)
x2 <- rnorm(nsamples, mean=10, sd=1)
hist(x1+x2, breaks=100)

# Mixture of two Gaussians
z <- runif(nsamples)<0.5 # assume mixture coefficients are (0.5,0.5)
x1_x2 <- rnorm(nsamples,mean=ifelse(z,-10,10),sd=1)
hist(x1_x2,breaks=100)

Bağımsız rasgele değişkenlerin toplamının dağılımı, dağılımlarının evrişimidir . Daha önce de belirttiğiniz gibi, iki Gauss'un evrimi Gauss'lu oluyor.

$X,Y$$Z$$X$$Y$$Z=X$$Z=Y$