Bir OLS çoklu regresyonu için tahmin aralığı nasıl hesaplanır?

Çoklu regresyon için tahmin aralığını hesaplamak için cebirsel gösterim nedir?

Aptalca geliyor, ama bunun net bir cebirsel gösterimini bulmakta güçlük çekiyorum.

multiple-regression least-squares prediction-interval

— Michael
kaynak

$N$ gözlemleri ve $k$ regresörleri olan bir regresyon modelini alın :

y = X β + u

$\mathbf{y=X\beta+u} \newcommand{\Var}{\rm Var}$

Bir vektör verildiğinde, bu gözlem için öngörülen değer, Bu öngörü varyans tutarlı bir tahmin olup Belirli için tahmin hatası olan ve arasındaki sıfır kovaryansı , ve bunun tutarlı bir tahmincisi anlamına gelir. $\mathbf{x_0}$

E [y | x_{0}] = {\hat{y}}_{0} = x_{0} \hat{β} .

$E[y \vert \mathbf{x_0}]=\hat y_0 = \mathbf{x_0} \hat \beta.$

{\hat{V}}_{p} = s^{2} \cdot x_{0} \cdot (X^{'} X)^{- 1} x_{0}^{'},

$\hat V_p=s^2 \cdot \mathbf{x_0} \cdot(\mathbf{X'X})^{-1}\mathbf{x'_0},$

s^{2} = \frac{Σ_{ben = 1}^{N-} {\hat{u}}_{ben}^{2}}{N- - k} .

$s^2=\frac{\Sigma_{i=1}^{N} \hat u_i^2}{N-k}.$

y_{0}

$y_0$

\hat{e} = y_{0} - {\hat{y}}_{0} = x_{0} β + u_{0} - {\hat{y}}_{0} .

$\hat e=y_0-\hat y_0=\mathbf{x_0}\beta+u_0-\hat y_0.$

u_{0}

$u_0$

\hat{β}

$\hat \beta$

V bir r [\hat{e}] = V bir r [{\hat{y}}_{0}] + V bir r [u_{0}],

$\Var[\hat e]=\Var[\hat y_0]+\Var[u_0],$

{\hat{V}}_{f} = s^{2} \cdot x_{0} \cdot (X^{'} X)^{- 1} x_{0}^{'} + s^{2} .

$\hat V_f=s^2 \cdot \mathbf{x_0} \cdot(\mathbf{X'X})^{-1}\mathbf{x'_0} + s^2.$

aralığı olacaktır: aralığı daha geniş olacaktır: $1-\alpha$ $\rm confidence$

y_{0} \pm t_{1 - α / 2} \cdot \sqrt{{\hat{V}}_{p}} .

$y_0 \pm t_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\hat V_{p}}.$

1 - α

$1-\alpha$

p r e d i c t i o n

$\rm prediction$

y_{0} \pm t_{1 - α / 2} \cdot \sqrt{{\hat{V}}_{f}} .

$y_0 \pm t_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\hat V_{f}}.$

— Dimitriy V. Masterov
kaynak

Yukarıdaki cevap çok iyi yapıldı, ancak bu kaynağın soruya bir bağlam getirmeye yardımcı olduğunu düşünüyorum .

— June Skeeter

@Dimitriy Ben ikinci eşinin üzerinde bir havuç / şapka '^' olması gerektiğine inanıyorum .

β

$\beta$

— Don Slowik

Tahmini hata artık değil mi? ?

\hat{e} = \hat{u}

$\hat{e}=\hat{u}$

— Don Slowik