N aralıklarını rastgele rastgele çizmek, en az bir aralığın diğerleriyle çakışması olasılığı

den rastgele $n$ aralık çizin , burada her bir uç nokta A, B, arasındaki eşit dağılımdan seçilir . $[0,1]$ $[0,1]$

En az bir aralığın diğerleriyle çakışması olasılığı nedir?

probability

— kan davası
kaynak

Geçen çizilmiş olduğu olasılık bakabilirsiniz

An $A_n$ hepsi önceden çizilmiş minimum küçüktür

A $A$ ve son olma olasılığıyla daha önce çizilmiş bir maksimum değerden daha büyük . Bu yardımcı olacaktır. Sonra sonuncusuna değil , herhangi birine ihtiyacımız olduğunu hesaba katma olasılığını şişirin . (

Bn $B_n$

B $B$

— Üzerinde

(1) cevabın dağılıma bağlı olmaması (sadece sürekli olması) ve (2)

n>1 $n\gt 1$ için sabit olması şaşırtıcı olabilir !

— whuber

Bu kadar N inci aralığıdır construted i) homojen bir rastgele iki numaraları çizmek [0,1], ii) daha küçük bir olsun

An $A_n$ ve daha büyük bir

Bn $B_n$ ?

— ekvall

Bu yazı soruyu cevaplıyor ve doğru olduğunu kanıtlamaya yönelik kısmi ilerlemeyi özetliyor.

For , cevap trivially olduğunu . Tüm büyük için (şaşırtıcı bir şekilde) her zaman . $n=1$ $1$ $n$ $2/3$

Nedenini görmek için, öncelikle sorunun herhangi bir sürekli dağılım (tekdüze dağılım yerine) genelleştirilebildiğini gözlemleyin . İle olan işlemler aralıkları çizim miktarlarda üretilir istatistiksel bağımsız değişkenler den ve şekillendirme aralıkları $F$ $n$ $2n$ $X_1, X_2, \ldots, X_{2n}$ $F$

[min (X 1, X 2), max (X 1, X 2)], \dots, [min (X 2 n - 1, X 2 n), max (X 2 n - 1, X 2 n)] .

$[\min(X_1,X_2), \max(X_1,X_2)], \ldots, [\min(X_{2n-1}, X_{2n}), \max(X_{2n-1}, X_{2n})].$

Bütün Çünkü ait bağımsızdır, bunlar değiştirilebilir. Bu, hepsine izin vermek için rastgele olsaydık çözümün aynı olacağı anlamına gelir. Bu nedenle sıralayarak elde edilen sipariş istatistiklerini koşullandıralım : $2n$ $X_i$ $X_i$

X (1) < X (2) < \dots < X (2 n)

$X_{(1)} \lt X_{(2)} \lt \cdots \lt X_{(2n)}$

(burada, sürekli olduğu için, ikisinin eşit olma ihtimali sıfırdır). aralıkları rastgele permütasyon seçilerek oluşturulmuştur ve bunlan birbirine bağlayan $F$ $n$ $\sigma\in\mathfrak{S}_{2n}$

[min (X σ (1), X σ (2)), max (X σ (1), X σ (2))], \dots, [min (X σ (2 n - 1), X σ (2 n)), max (X σ (2 n - 1), X σ (2 n))] .

$[\min(X_{\sigma(1)},X_{\sigma(2)}), \max(X_{\sigma(1)},X_{\sigma(2)})], \ldots, [\min(X_{\sigma(2n-1)}, X_{\sigma(2n)}), \max(X_{\sigma(2n-1)}, X_{\sigma(2n)})].$

Bu üst üste binme herhangi iki olsun ya da olmasın değerlerine bağlı değildir , $X_{(i)}$ üst üste herhangi biri ile, bir monotonik dönüşüm korunur çünkü ve gönderme gibi dönüşüm vardır için . Böylece, herhangi bir genel kayıp olmadan, ve soru şu olur: $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $X_{(i)}$ $i$ $X_{(i)}=i$

Grubu olsun içine bölümlenmiş ayrık doubletons. Bunlardan herhangi iki ve (ile ), üst üste binme zaman ve $\{1,2,\ldots, 2n-1, 2n\}$ $n$ $\{l_1,r_1\}$ $\{l_2,r_2\}$ $l_i \lt r_i$ $r_1 \gt l_2$ $r_2 \gt l_1$ . Elemanlarından en az biri diğerleriyle çakıştığında (aksi halde "kötü" olduğunda) bir bölümün "iyi" olduğunu varsayalım. bir fonksiyonu olarak , iyi bölümlerin oranı nedir? $n$

Açıklamak için vakasını düşünün . Üç bölüm var, $n=2$

{{1, 2}, {3, 4}}, {{1, 4}, {2, 3}}, {{1, 3}, {2, 4}},

$\color{gray}{\{\{1,2\},\{3,4\}\}},\ \color{red}{\{\{1,4\},\{2,3\}\}},\ \color{red}{\{\{1,3\},\{2,4\}\}},$

bunlardan ikisi (ikinci ve üçüncü) kırmızı renklidir. Böylece durumda cevap olan . $n=2$ $2/3$

Bu tür bölümleri grafik olarak gösterebiliriz noktaları çizilerek sayıda hattı ve her biri arasındaki çizgi parçalarını çekme ve hafifçe telafi görsel çakışmaları çözmek için. İşte önceki üç bölümün grafikleri, aynı renkle aynı sırayla: $\{\{l_i,r_i\},\,i=1,2,\ldots,n\}$ $\{1,2,\ldots,2n\}$ $l_i$ $r_i$

Şu andan itibaren, bu tür grafikleri bu formatta kolayca sığdırmak için onları yana çevireceğim. Örneğin, için bölüm , bir kez daha iyileri kırmızı renkli: $15$ $n=3$

İçin cevap çok on, iyi olan . $n=3$ $10/15=2/3$

İlk ilginç durum olduğunda ortaya çıkar . Şimdi, ilk defa olarak, açıklığa aralıklarla birliği mümkündür ile başkalarını kesişen bunlardan tek bir tanesi olmadan. Örnek olarak verilebilir . Çizgi segmentlerinin birliği itibaren kırılmamış çalışır kadar $n=4$ $1$ $2n$ $\{\{1,3\},\{2,5\},\{4,7\},\{6,8\}\}$ $1$ $8$ but this is not a good partition. Nevertheless, $70$ of the $105$ partitions are good and the proportion remains $2/3$ .

The number of partitions increases rapidly with $n$ : it equals $1\cdot 3\cdot 5 \cdots \cdot 2n-1 = (2n)!/(2^nn!)$ . Exhaustive enumeration of all possibilities through $n=7$ continues to yield $2/3$ as the answer. Monte-Carlo simulations through $n=100$ (using $10000$ iterations in each) show no significant deviations from $2/3$ .

I am convinced there is a clever, simple way to demonstrate there is always a $2:1$ ratio of good to bad partitions, but I have not found one. A proof is available through careful integration (using the original uniform distribution of the $X_i$ ), but it is rather involved and unenlightening.

— whuber
kaynak

Very cool. I have a hard time following what it means to "condition on the order statistics", would it be possible to add a line of intuition? Seems like a useful technique. I understand up to that the

$X_i$ are exchangeable, indeed even

$iid$ , that that this allows us to consider any permutation.

— ekvall

@Student To "condition on" means to say, let's temporarily hold these values fixed and consider what we can learn from that. Later, we will let those values vary (according to their probability distribution). In this case, once we find that the answer is

$2/3$ regardless of the fixed values of the order statistics, then we no longer have to carry out the second step of varying the order statistics. Mathematically, the order stats are a vector-valued variable

$\mathbf{X}$ and the indicator of being good is

$Y$ , so

$\mathbb{E}(Y)=\mathbb{E}(\mathbb{E}(Y|\mathbf{X}))=\mathbb{E}(2/3)=2/3.$

— whuber