Bir popülasyondaki rastgele bir üyenin farklı bir popülasyondaki rastgele bir üyeden “daha ​​iyi” olma olasılığını nasıl tahmin edebilirim?

İki farklı popülasyondan örneklemlerim olduğunu varsayalım. Her üyenin bir görev yapmasının ne kadar sürdüğünü ölçersem, her nüfusun ortalamasını ve varyansını kolayca tahmin edebilirim.

Şimdi her bir popülasyondan bir kişi ile rastgele bir eşleşme varsayarsam, birincinin ikincisinden daha hızlı olma olasılığını tahmin edebilir miyim?

Aklımda somut bir örnek var: ölçümler, A'dan B'ye bisiklet sürmemin zamanlamaları ve popülasyonlar alabileceğim farklı yolları temsil ediyor; Ben sonraki döngü için rota A seçim rota B toplama daha hızlı olacaktır olasılığı üzerinde çalışıyorum çalışıyorum. Aslında döngüsü yaptığımda, benim örnek set için başka bir veri noktası var :).

Bunun, bunu çözmeye çalışmak için son derece basit bir yol olduğunun farkındayım, en azından herhangi bir günde rüzgarın zamanımı diğer her şeyden daha fazla etkilemesi muhtemeldir, bu yüzden lütfen sorduğumu düşünüyorsanız, lütfen bana bildirin. yanlış soru ...

Çözüm

İki ortalama ve μ y ve standart sapmaları sırasıyla σ x ve σ y olsun . İki sürüş ( Y - X ) arasındaki zamanlama farkının ortalama μ y - μ x ve standart sapması $\mu_x$$\mu_y$$\sigma_x$$\sigma_y$$Y-X$$\mu_y - \mu_x$ . Standartlaştırılmış fark ("z skoru")$\sqrt{\sigma_x^2 + \sigma_y^2}$

Senin yolculuk süreleri garip dağılımları yoksa, binmek olasılığı binmek daha uzun sürer X yaklaşık Normal kümülatif dağılım olduğu Φ değerlendirmeye, z .$Y$$X$$\Phi$$z$

Hesaplama

Bu olasılığı sürüşlerinizden birinde çalışabilirsiniz çünkü zaten vb. Tahminleriniz var :-). Bu amaç için, birkaç anahtar değerleri ezberlemek kolaydır cp : cp ( 0 ) = .5 = 1 / 2 , Φ ( - 1 ) ≈ 0.16 ≈ 1 / 6 , Φ ( - 2 ) ≈ 0.022 ≈ 1 / 40 , ve Φ ( - 3 ) ≈ $\mu_x$$\Phi$$\Phi(0) = .5 = 1/2$$\Phi(-1) \approx 0.16 \approx 1/6$$\Phi(-2) \approx 0.022 \approx 1/40$ . (Yaklaşım | z | 2'den çok daha büyük olabilir, ancak Φ ( - 3 ) bilmekenterpolasyona yardımcı olur.) Φ ( z ) = 1 - Φ ( - z ) ve biraz enterpolasyon ile birlikte, problemi ve verinin doğası göz önüne alındığında, yeterince önemli olan bir anlamlı rakama olasılığı hızlı bir şekilde tahmin edebilir.$\Phi(-3) \approx 0.0013 \approx 1/750$$|z|$$2$$\Phi(-3)$$\Phi(z) = 1 - \Phi(-z)$

Misal

yolunun standart 6 dakikalık sapma ve rota ile 30 dakika sürdüğünü varsayalım$X$8 dakika standart sapma ile 36 dakika. Çok çeşitli koşulları kapsayan yeterli veri olduğunda, verilerinizin histogramları nihayetinde aşağıdakilere yaklaşabilir:$Y$

(Bunlar Gamma (25, 30/25) ve Gamma (20, 36/20) değişkenleri için olasılık yoğunluk işlevleridir. Sürüş süreleri için beklendiği gibi, kesinlikle sağa eğik olduklarını gözlemleyin.)

Sonra

Nereden

Sahibiz

Bu nedenle cevabın 0,5 ile 0,84: 0,5 + 0,6 * (0,84 - 0,5) = yaklaşık 0,70 arasında olduğunu tahmin ediyoruz. (Normal dağılım için doğru ancak aşırı kesin değer 0.73'tür.)

rotasının X rotasından daha uzun sürmesi ihtimali yaklaşık% 70'dir . Bu hesaplamayı kafanızda yapmak aklınızı bir sonraki tepeden çıkaracaktır. :-)$Y$$X$

(Her ikisi de Normal olmasa da, gösterilen histogramlar için doğru olasılık% 72'dir: bu, açma sürelerindeki fark için Normal yaklaşımın kapsamını ve kullanımını gösterir.)

İçgüdüsel yaklaşımım en istatistiksel olarak sofistike olmayabilir, ancak daha eğlenceli olduğunu görebilirsiniz :)

İyi bir grafik kağıdı alırdım ve sütunları zaman bloklarına bölerdim. Sürüşlerinizin süresine bağlı olarak - ortalama 5 dakika veya bir saatten mi bahsediyoruz - farklı boyutta bloklar kullanabilirsiniz. Her sütunun iki dakikalık bir blok olduğunu varsayalım. A yolu için bir renk ve B yolu için farklı bir renk seçin ve her sürüşten sonra uygun sütunda bir nokta yapın. Bu rengin zaten bir noktası varsa, bir satır yukarı git. Başka bir deyişle, bu mutlak sayılardaki bir histogram olacaktır.

Daha sonra, aldığınız her sürüşte eğlenceli bir histogram inşa edersiniz ve iki rota arasındaki farkı görsel olarak görebilirsiniz.

Bir bisiklet banliyö olarak kendi deneyimlerime dayanarak benim hissim (nicelemeyle doğrulanmadı), zamanların normal olarak dağılmayacağıdır - olumlu bir eğime veya başka bir deyişle üst uç zamanların uzun bir kuyruğuna sahip olacaklardır. Tipik zamanım mümkün olan en kısa zamanımdan çok daha uzun değil, ama her zaman ve sonra tüm kırmızı ışıklara çarpıyorum ve çok daha yüksek bir üst uç var. Deneyiminiz farklı olabilir. Bu yüzden histogram yaklaşımının daha iyi olabileceğini düşünüyorum, böylece dağılımın şeklini kendiniz gözlemleyebilirsiniz.

Not: Bu forumda yorum yapmak için yeterli temsilcim yok, ama whuber'ın cevabını seviyorum! Çarpıklık konusundaki endişemi örnek bir analizle oldukça etkili bir şekilde ele alıyor. Ve zihnini bir sonraki tepeden uzak tutmak için kafanda hesaplama fikrini seviyorum :)

İki veri kümesinin $X$ ve $Y$. Her popülasyondan bir kişiyi rastgele örnekleyerek size$x,y$. Eğer '1' kaydedin$x > y$ve 0 ise. Bunu birçok kez tekrarlayın (diyelim ki 10000) ve bu göstergelerin ortalaması size bir tahmin verecektir.$P(X_{i} > Y_{j})$ where $i,j$ are randomly selected subjects from the two populations, respectively. In R, the code would go something like:

#X, Y are the two data sets
ii = rep(0,10000)
for(k in 1:10000)
{
   x1 = sample(X,1)
   y1 = sample(Y,1)
   ii[k] = (x1>y1) 
}

# this is an estimate of P(X>Y)
mean(ii)