Bu dağıtımın bir adı var mı? Veya onu üretebilecek stokastik bir süreç nedir?

Kütle fonksiyonlu ayrık dağılım

p (x; k) = \frac{k}{(x + k) (x + k - 1)}, x = 1, 2, \dots

$p(x;k) = \frac{k}{(x+k)(x+k-1)},\quad x = 1,2,\ldots$

bu makalenin 9. sayfasında yer almaktadır .

İçin $k=1$ bir Yule-Simon dağılımıdır . $\rho=1$ , ancak başka örnek bulamadım.

Bir adı var mı? Başka bağlamlarda görünüyor mu? Onu üretebilecek basit bir stokastik süreç var mı?

distributions

— Simon Byrne
kaynak

Ayrık bir güç yasası.

(Bu bir tanımdır - teknik bir terimden ziyade aşağıda anlamın kesin olacağı anlamına gelir. "Ayrık güç yasası" ifadesi, bu cevaba yapılan yorumlarda @Cardinal tarafından belirtildiği gibi biraz farklı bir teknik anlama sahiptir.)

Bunu görmek için kısmi fraksiyon ayrışmasının yazılabileceğini gözlemleyin

p (x; k) = \frac{k}{(x + k) (x + k - 1)} = \frac{1}{1 + (x - 1) / k} - \frac{1}{1 + x / k} .

$p(x;k) = \frac{k}{(x+k)(x+k-1)} = \frac{1}{1 + (x-1)/k} - \frac{1}{1 + x/k}.$

CDF teleskopları kapalı bir forma dönüştürür:

\begin{aligned} CDF (i) = \sum_{x = 1}^{i} p (x; k) \\ = & [\frac{1}{1 + 0 / k} - \frac{1}{1 + 1 / k}] + [\frac{1}{1 + 1 / k} - \frac{1}{1 + 2 / k}] + \dots + [\frac{1}{1 + (i - 1) / k} - \frac{1}{1 + i / k}] \\ = & \frac{1}{1 + 0 / k} + [- \frac{1}{1 + 1 / k} + \frac{1}{1 + 1 / k}] + [- \frac{1}{1 + 2 / k} + \dots + \frac{1}{1 + (i - 1) / k}] - \frac{1}{1 + i / k} \\ = & 1 + 0 + \dots + 0 - \frac{1}{1 + i / k} \\ = & \frac{i}{i + k} . \end{aligned}

$\eqalign{ &\text{CDF}(i) = \sum_{x=1}^i p(x;k) \\ = &[\frac{1}{1 + 0/k} - \frac{1}{1 + 1/k}] + [\frac{1}{1 + 1/k} - \frac{1}{1 + 2/k}] + \cdots + [\frac{1}{1 + (i-1)/k} - \frac{1}{1 + i/k}] \\ = &\frac{1}{1 + 0/k} + [- \frac{1}{1 + 1/k} + \frac{1}{1 + 1/k}] + [ - \frac{1}{1 + 2/k} + \cdots + \frac{1}{1 + (i-1)/k}] - \frac{1}{1 + i/k} \\ = &1 + 0 + \cdots + 0 - \frac{1}{1 + i/k} \\ = &\frac{i}{i+k}. }$

(Bu arada, bu kolayca ters çevrildiğinden, bu dağıtımdan rastgele değişkenler oluşturmak için hemen etkili bir yol sağlar: basitçe hesaplayın $\lceil \frac{k u}{1 - u} \rceil$ nerede $u$ üzerinde eşit olarak dağılmış $(0,1)$ .)

Bu ifadeyi, $i$ CDF'nin nasıl integral olarak yazılabileceğini gösterir ,

CDF (i) = \frac{i}{i + k} = \int_{0}^{i} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}} = \sum_{x = 1}^{i} \int_{x - 1}^{x} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}},

$\text{CDF}(i) = \frac{i}{i+k} = \int_0^i \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2} = \sum_{x=1}^i \int_{x-1}^x \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2},$

nereden

p (x; k) = \int_{x - 1}^{x} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}} .

$p(x;k) = \int_{x-1}^x \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2}.$

Bu yazı biçimi $k$ yoğunluk tarafından belirlenen (sürekli) dağılım ailesi için ölçek parametresi olarak

f (ξ) d ξ = (1 + ξ)^{- 2} d ξ

$f(\xi)d\xi = (1 + \xi)^{-2}\, d\xi$

ve nasıl olduğunu gösterir $p(x;k)$ takdirsiz versiyonu $f$ (tarafından ölçeklendirildi $k$ ) sürekli olasılık $x-1$ için $x$ . Bu açıkça üslü bir güç yasası $-2$ . Bu gözlem, güç yasaları ve bunların bilim, mühendislik ve istatistiklerde nasıl ortaya çıktığı hakkında kapsamlı bir literatüre giriş sağlar, bu da son iki sorunuza birçok cevap önerebilir.

— whuber
kaynak

(+1) Olasılık kütle fonksiyonundan,

p (x; k) \sim k x^{- 2}

$p(x; k) \sim k x^{-2}$ gibi

x \to \infty

$x \to \infty$ Bu bir güç yasası dağılımı olduğu sonucuna varmak için yeterli görünüyor. Aslında,

p (x; k) x^{2} / k ↑ 1

$p(x;k) x^2 / k \uparrow 1$ gibi

x \to \infty

$x \to \infty$ .

— kardinal

@cardinal Haklısınız, ancak bu argümanın bir sınırlaması var:

p

$p$ olduğu asimptotik bir güç yasası. Hesaplamalar, bunun bir güç yasasının tamamen ayrı bir versiyonu olduğunu gösteriyor .

— whuber

Çizmeye çalıştığınız ayrımdan tam olarak emin değilim. Ne yazık ki, bunu dikkatlice düşünme şansım olmadı, ancak görünüşe göre ayrı bir güç yasası dağıtımını, sürekli bir güç yasası dağıtımının ayrık bir versiyonu olan bir tanım olarak tanımlıyorsunuz. Yorumunuzu doğru şekilde mi yorumluyorum? Her halükarda, literatürde ayrık güç yasalarına atıfta bulunduğumda, olağan tanım kullandığım daha zayıf (yani asimptotik) gibi görünüyor. (devam)

— kardinal

(Devam.) Öte yandan, bir Zipf dağılımı mümkün olduğunca ayrı bir güç yasası kadar saf görünebilir, ancak bunun sürekli bir güç yasasının takdirine bağlı olarak üretilebileceğine inanmıyorum. Niyetini yanlış mı yorumladım? (Bu arada, yukarıdaki gelişiminiz oldukça güzel. CDf için teleskopik toplamın tanınması, kolay bir örnekleme şemasının tanınması gibi harika.)

— kardinal

Tamam, biraz daha araştırma yaptıktan sonra biraz daha ayrıntı buldum.

Geometrik dağılımın Beta ile sürekli bir karışımı için özel bir durumdur, bu nedenle Beta-geometrik dağılım olarak adlandırılabilir . Özellikle, eğer:

P \sim B e t a (1, k)

$P \sim \mathrm{Beta}(1,k)$ ve:

X | P \sim G e o m e t r i c (P)

$X|P \sim \mathrm{Geometric}(P)$ sonra marjinal dağılımı

Y = X + 1

$Y = X+1$ bu dağılımı var. Bu nedenle, bu bir Beta-Negatif binom dağılımı için özel bir durumdur .

Birkaç başka ilginç özelliği var:

Sonsuz bir anlamı var
Kendi kuyruk dağılımını tanımlar: $X$ parametre ile bu dağılımı var $k$ , sonra $X-t | X>t$ parametresi var $t+k$ .

— Simon Byrne
kaynak