Rasgele değişkenin “kafes” olarak tanımlanmasının ardındaki sezgisel anlamı nedir?

15

Olasılık teorisinde, varsa , negatif olmayan rastgele değişken kafes denir . $X$ $d \geq 0$ $\sum_{n=0}^{\infty}P(X=nd) = 1$

Bu tanıma neden kafes adı verildiğine dair geometrik bir yorum var mı?

probability

— user1398057
kaynak

19

Bu demektir ayrık, ve dağıtımına düzenli aralıklarla bir tür olduğu; yani olasılık kütlesi, sonlu / sayılabilir nokta kümesinde yoğunlaşır . $X$ ${d, 2d, 3d, \dots}$

Tüm ayrık dağılımların kafes olmadığını unutmayın. Örneğin, eğer değerler alabilir hiç yoktur, çünkü bu bir örgü olmayan tüm değerler katları olarak ifade edilebilir, örneğin . $X$ $\{1, e, \pi, 5\}$ $d$ $d$

— Hong Ooi
kaynak

15

Bu terminoloji rastgele değişkeni geometrik simetrileri incelemek için kullanılan grup teorisi kavramlarıyla birleştirir . Bu nedenle, kafes rasgele değişkenlerin anlamını ve potansiyel uygulamalarını aydınlatacak daha genel bağlantıyı görmek hoşunuza gidebilir.

Arka fon

Matematikte, bir "kafes" , bir topolojik grup ( genellikle sınırlı bir kovoluma sahip olduğu varsayılır) ayrı bir alt grubudur . $\mathcal{L}$ $G$

"Ayrık", her öğenin etrafında , yalnızca içeren açık bir küme gelir: . i noktaların "desenli" veya "düzenli" bir düzenlemesi olarak düşünmek adil olur . $g\in\mathcal{L}$ $\mathcal{O}_g\subset\mathcal{L}$ $g$ $\mathcal{O}_g\cup\mathcal{L}=\{g\}$ $\mathcal{L}$ $G$
grubu her biri için bir yörünge oluşturarak " in in in etrafında hareket " üzerinde hareket eder . Bir temel alan , bu eylemin, her yörüngedeki tek bir nokta meydana gelir. boyutları ölçmek için kullanılan, veya - Haar ölçü - bir ölçü ile donatılabilir hacim Borel ölçülebilir alt kümelerinin, . Ölçülebilir bir temel alan bulunabilir. Bu hacim covolume arasında . Sonlu olduğunda, bu temel alan ve unsurları tarafından döşenmiş olarak düşünebiliriz. $G$ $\mathcal{L}$ $\mathcal{L}$ $G$ $G$ $G$ $\mathcal{L}$ $G$ $\mathcal{L}$ fayansları hareket ettirmek gibi.

Şekil: Deniz Atı (No. 11), MC Escher

Bu deniz atı figürlerinin herhangi biri - birinin sağ tarafı yukarı, diğeri baş aşağı olduğu - Öklid düzlemindeki görsel olarak belirgin kafes için temel bir alan olabilir. MC Escher, Deniz Atı (No. 11) .

Bir "kafes" rasgele değişkeni içindeki bir kafes üzerinde desteklenir . $X$ $(\mathbb{R}^n, {+})$ Bu, tüm olasılığının kafesin kapanmasında bulunduğu anlamına gelir. Bir kafes ayrık olduğu için kapalıdır, bu nedenle değerleri kafes üzerinde kalacaktır: . $X$ $\Pr(X\in\mathcal{L})=1$

Uygulama

Sorunun ima ettiği grup , olağan (Öklid) topolojisi olan gerçek sayıların toplam grubudur . Bir alt grup olarak, kafesi içermelidir . Tek başına bu yeterli olmayacaktır, çünkü bölümü sonsuz hacme sahiptir (bu 1D durumunda "hacim" = "uzunluk"). Dolayısıyla, en az bir sıfır olmayan eleman . Bu öğenin tüm yetkileri de alt grupta olmalıdır. Bir işlem olduğu için ek , gücü olan . Bu nedenle , tüm integral katlarını içerir $(\mathbb{R}, {+})$ $\mathcal{L}$ $0$ $\mathbb{R}/\{0\}$ $g\in\mathcal{L}$ $n^\text{th}$ $g$ $ng$ $\mathcal{L}$ $g$ (negatif olanlar dahil).

Birbirinin gücü olmayan iki öğe varsa, (1) tüm kombinasyonların , için olduğunu göstermek kolaydır (küçük bir sayı teorisi kullanarak) , sıralı çiftlerle ve (2) bire bir yazışma içindedir, bu kombinasyonlar içinde yoğundur , bu da anlamına gelir ayrık değildir. Bundan , içindeki tüm öğelerin tek bir sayı gücü olduğu sonucuna varmak kolaydır . Bu jeneratör arasında . $h,g\in\mathcal{L}$ $ng+mh$ $n,m\in\mathbb{Z}$ $(m,n)$ $\mathbb{R}$ $\mathcal{L}$ $\mathcal{L}$ $g$ $\mathcal{L}$

(Benzer bir argüman, içindeki kafeslerin üreteci olması gerektiğini gösterir . Escher suluboyaının jeneratörleri, örneğin, iki birimin aşağı ve bir birim aşağı ve bir çeviri olabilir. birim sağa doğru.) $(\mathbb{R}^n, {+})$ $n$

Sonuç olarak, herhangi bir gerçek-değerli kafes rastgele değişkenin karşılık gelen ile bir jeneratör olmalıdır , nereden $X$ $(\mathbb{R}, {+})$ $g\ne 0$

\sum_{n = 0}^{\infty} Pr (X = n g) \leq \sum_{n = - \infty}^{\infty} Pr (X = n g) = Pr (X \in L) = 1.

$\sum_{n=0}^\infty \Pr(X=ng) \le \sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(X=ng) = \Pr(X\in\mathcal{L}) = 1.$

Dolayısıyla, sorudaki tanım negatif olmayan bir kafes değişkenin tanımlaması olarak anlaşılabilir . Ayrıca , aksi takdirde sonsuz alt grubunda desteklenir, ki bu sınırsız covolume olan bir kafes değildir. $\Pr(X=0) \lt 1$ $X$ $\{0\}$

genelleme

Pozitif gerçek sayılar çarpımsal bir grup oluşturur. Bu gruptaki bir kafes, bazı için biçiminde olacaktır . (Bu kafesin covolume olan .) Bu duruma göre, herhangi bir rastgele değişken için $(\mathbb{R}^{+}, {\times})$ $\mathcal{L} = \{g^n\,|\,n\in\mathbb{Z}\}$ $g \gt 0$ $|\log(g)|$ $Y$

\sum_{n = - \infty}^{\infty} Pr (Y = g^{n}) = 1

$\sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(Y=g^n) = 1$

bu grupta bir kafes değişkeni olarak düşünülebilir. Açıkçası , üzerinde bir kafes değişkeni olacaktır . $\log(Y)$ $(\mathbb{R}, {+})$

— whuber
kaynak