Medyan bir “metrik” veya “topolojik” bir özellik midir?

Terminolojinin hafifçe kötüye kullanılması için özür dilerim; Umarım aşağıda ne demek istediğimi netleştiririz.

Rastgele bir değişken düşünün . Hem ortalama hem de ortanca bir iyimserlik kriteri ile karakterize edilebilir: Ortalama, en aza indiren sayı ve en aza indiren ortanca sayıdır . Bu açıdan, ortalama ve medyan arasındaki fark, sapmaları, kareyi veya mutlak değeri değerlendirmek için "metrik" seçimidir. $X$ $\mu$ $\mathrm E((X - \mu)^2)$ $\mathrm E(|X - \mu|)$

Diğer taraftan medyan, olan sayıdır. (mutlak süreklilik varsayarak), yani bu tanım sadecedeğerlerinisiparişetme yeteneğine bağlıdırvene kadarfarklı olduklarındanbağımsızdır. Bunun bir sonucu, her kesin olarak artanfonksiyonu için,, yani "topolojik" anlamındadır. "kauçuk benzeri" dönüşümler altında değişmezlik. $\mathrm{Pr}(X \leq \mu) = \frac12$ $X$ $f(x)$ $\mathrm{median}(f(X)) = f(\mathrm{median}(X))$

Şimdi matematik yaptım ve ben iyimserlik kriterinden başlayarak ben gelebilir biliyorum -büyük, yani her ikisi de aynı şeyi tarif. Ama yine de kafam karıştı, çünkü sezgim bana "metrik" olan bir şeyin "topolojik" bir özelliğe yol açamayacağını söylüyor. $\frac12$

Birisi bu bilmeceyi benim için çözebilir mi?

mean median

— A. Donda
kaynak

Güzel başlık! :-)

— Luis Mendo

Akıl yürütmenizdeki kusur, metriğe bağlı bir şeyin topolojik bir özellik olamayacağıdır.

Metrik uzayların kompaktlığını alın. Bu, metrik olarak tanımlanabilir: kompaktlık, alanın tam (metriğe bağlı) ve tamamen sınırlanmış (metriğe bağlı olduğu) anlamına gelir. Yine de, bu özelliğin homeomorfizm altında bir değişmez olduğu ve gerçekten de sadece topoloji (herhangi bir kapağın sonlu alt kapakları, olağan şekilde) olarak tanımlanabileceği ortaya çıkmaktadır.

Başka bir örnek çeşitli homoloji teorileridir. Sadece tekil homoloji tanımında gerçekten topolojiktir. Diğerleri, basit, hücresel, De Rham (kohomoloji, ancak bana biraz gevşeklik verin), vb., Ekstra yapıya bağlıdır, ancak eşdeğer (ve çalışmak biraz daha kolay).

Bu matematikte çok fazla gelir, bazen bir şeyi tanımlamanın en kolay yolu bazı yardımcı yapı açısındandır ve daha sonra ortaya çıkan varlığın aslında yardımcı yapı seçimine bağlı olmadığı gösterilmiştir.

— Matthew Drury
kaynak

Cevap için teşekkürler! Görünüşe göre terminolojimi düşündüğümden daha ciddiye alıyorsunuz. Sadece en temel topolojik ve metrik uzay bilgisine sahip olduğumu itiraf etmeliyim, bu aptalca bir soru olabilir: Yardımcı bir yapı kullanmanın, kesinlikle gerekli olmasa da hayatı kolaylaştırdığını anlıyorum - tamam, belki de durum böyle burada da.

— A. Donda

Ama siz de "sonuçta ortaya çıkan varlık, aslında hiçbir yan yapı seçimine bağlı değildir" diyorsunuz. Aynı topolojiye ulaşmak için farklı yardımcı yapıları kullanabileceğini doğru anladım mı? Eğer evet ise, o zaman analoji burada yıkılır, çünkü "kare metrik" kullanarak medyana değil , ortalama olarak monotonik dönüşümler altında değişmez.

— A. Donda

İyi bir nokta. Ben bir şey zaman şaşırtıcı olmadığını, söyleyerek şey olduğunu düşünüyorum edebilir ve bu durumda genellikle ne zaman yararlı bir kavram bulduk - bir yapı bakımından tanımlanabilir zayıf yapısı bakımından tanımlanabilen olduğu ortaya tuns! Sizin durumunuzda, medyanı gerçek sayıların aritmetiği ve entegrasyonu açısından tanımlayabilirsiniz, ki bu çok fazla yapıdır, ancak aslında, aritmetiği daha zayıf bir yapıya göre değiştiren bir tanım vardır. Vakalarım, aşırı yapının neredeyse hiç yapı olmadığı ortaya çıktı.

— Matthew Drury

Başka bir nokta. Bunu söyleyebiliriz nedeni monoton dönüşümler medyan korumak olduğunu çünkü monoton dönüşümler oldukları yapısı bakımından bunları tanımlamak için bir yol yoktur morfizimler . Morfizm, bazı yapıları koruyan işlev anlamına gelen genel bir soyut saçmalık kelimedir .

— Matthew Drury

Tamam, genel noktayı anladım. Ama hala açıklanamayan bir şey, özellikle de yukarıda belirtilen nokta var. Kaldırdım, ama bu nedenle cevabınızı kabul etmeyeceğim - belki birileri ek bir içgörü bulur. Tekrar teşekkürler!

— A. Donda