bölünmüş bir normal size t-dağılımı - kanıtı sağlar

ve diyelim . $Z \sim N(0,1)$ $W \sim \chi^2(s)$

Eğer ve bağımsız bir şekilde, daha sonra dağıtıldığı değişkeni aşağıda belirtildiği gibi özgürlük dereceleri ile dağıtım . $Z$ $W$ $Y = \frac{Z}{\sqrt{W/s}}$ $t$ $s$

Bu gerçeğin bir kanıtını arıyorum, tam argümanı yazmak istemiyorsanız bir referans yeterince iyi.

probability distributions references

— monolit
kaynak

Bu resmi olarak stats.stackexchange.com/questions/52906 adresinde gösterilmektedir : integral olarak yazıldığında oranın Gauss'ların bir karışımı olduğu görülür ve bu gösteri karışımın dağılımda olduğunu gösterir.

— whuber

Bazı ders kitaplarında bu t-dağılımının bir tanımıdır. Bunu kanıtlamanıza gerek yok. Ancak böyle bir tanım verildiğinde nasıl pdf türetilir geçerli bir sorudur.

— mpiktas

Yanıtlar:

Let ile bir ki-kare rastgele değişken serbestlik derecesi. Daha sonra , kare kökü, serbestlik derecesine sahip bir - dağılımı olarak dağıtılır ve bu yoğunluk $Y$ $n$ $Y$ $\sqrt Y\equiv \hat Y$ $n$

\begin{matrix} (1) & f_{\hat{Y}} (\hat{y}) = \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} {\hat{y}}^{n - 1} \exp {- \frac{{\hat{y}}^{2}}{2}} \end{matrix}

$f_{\hat Y}(\hat y) = \frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} \hat y^{n-1} \exp\Big \{{-\frac {\hat y^2}{2}} \Big\} \tag{1}$

tanımlayın . Sonra , ve değişken değişikliği formülü ile $X \equiv \frac {1}{\sqrt n}\hat Y$ $\frac {\partial \hat Y}{\partial X} = \sqrt n$

f_{X} (x) = f_{\hat{Y}} (\sqrt{n} x) | \frac{\partial \hat{Y}}{\partial X} | = \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} (\sqrt{n} x)^{n - 1} \exp {- \frac{(\sqrt{n} x)^{2}}{2}} \sqrt{n}

$f_{X}(x) = f_{\hat Y}(\sqrt nx)\Big |\frac {\partial \hat Y}{\partial X} \Big| = \frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} (\sqrt nx)^{n-1} \exp\Big \{{-\frac {(\sqrt nx)^2}{2}} \Big\}\sqrt n$

\begin{matrix} (2) & = \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} n^{\frac{n}{2}} x^{n - 1} \exp {- \frac{n}{2} x^{2}} \end{matrix}

$=\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}x^{n-1} \exp\Big \{{-\frac {n}{2}x^2} \Big\} \tag{2}$

Let öncekilerden bağımsız bir standart normal rasgele değişken olabilir ve rastgele değişken tanımlamak $Z$

T = \frac{Z}{\sqrt{\frac{Y}{n}}} = \frac{Z}{X}

$T = \frac{Z}{\sqrt \frac Yn}= \frac ZX$ .

İki bağımsız rasgele değişken oranının yoğunluk fonksiyonu için standart formülle,

f_{T} (t) = \int_{- \infty}^{\infty} | x | f_{Z} (x t) f_{X} (x) d x

$f_T(t) = \int_{-\infty}^{\infty} |x|f_Z(xt)f_X(x)dx$

Ancak aralığı için çünkü negatif olmayan bir rv olduğundan Mutlak değeri ortadan kaldırabilir ve $f_X(x) = 0$ $[-\infty, 0]$ $X$

f_{T} (t) = \int_{0}^{\infty} x f_{Z} (x t) f_{X} (x) d x

$f_T(t) = \int_{0}^{\infty} xf_Z(xt)f_X(x)dx$

= \int_{0}^{\infty} x \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp {- \frac{(x t)^{2}}{2}} \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} n^{\frac{n}{2}} x^{n - 1} \exp {- \frac{n}{2} x^{2}} d x

$= \int_{0}^{\infty} x \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \Big \{{-\frac{(xt)^2}{2}}\Big\}\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}x^{n-1} \exp\Big \{{-\frac {n}{2}x^2} \Big\}dx$

\begin{matrix} (3) & = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} n^{\frac{n}{2}} \int_{0}^{\infty} x^{n} \exp {- \frac{1}{2} (n + t^{2}) x^{2}} d x \end{matrix}

$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}\int_{0}^{\infty} x^n \exp \Big \{-\frac 12 (n+t^2) x^2\Big\} dx \tag{3}$

deki integral, sonunda bir Gama yoğunluğu fonksiyonuna dönüştürülmeyi ümit etmektedir. Entegrasyon limitleri doğrudur, bu yüzden integrali limitleri değiştirmeden Gamma yoğunluk fonksiyonu haline getirmemiz gerekir. Değişkeni tanımlayın $(3)$

m \equiv x^{2} \Rightarrow d m = 2 x d x \Rightarrow d x = \frac{d m}{2 x}, x = m^{\frac{1}{2}}

$m \equiv x^2 \Rightarrow dm = 2xdx \Rightarrow dx = \frac {dm}{2x}, \; x = m^{\frac 12}$ İkameyi, sahip olduğumuz integralde yapmak

\begin{matrix} (4) & I_{3} = \int_{0}^{\infty} x^{n} \exp {- \frac{1}{2} (n + t^{2}) m} \frac{d m}{2 x} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} m^{\frac{n - 1}{2}} \exp {- \frac{1}{2} (n + t^{2}) m} d m \end{matrix}

$I_3=\int_{0}^{\infty} x^n \exp \Big \{-\frac 12 (n+t^2) m\Big\} \frac {dm}{2x} \\ = \frac 12\int_{0}^{\infty} m^{\frac {n-1}{2}} \exp \Big \{-\frac 12 (n+t^2) m\Big \} dm \tag{4}$

Gama yoğunluğu yazılabilir

G a m m a (m; k, θ) = \frac{m^{k - 1} \exp {- \frac{m}{θ}}}{θ^{k} Γ (k)}

$Gamma(m;k,\theta) = \frac {m^{k-1} \exp\Big\{-\frac{m}{\theta}\Big \}}{\theta^k\Gamma(k)}$

Eşleşen katsayılar,

k - 1 = \frac{n - 1}{2} \Rightarrow k^{*} = \frac{n + 1}{2}, \frac{1}{θ} = \frac{1}{2} (n + t^{2}) \Rightarrow θ^{*} = \frac{2}{(n + t^{2})}

$k-1 = \frac {n-1}{2} \Rightarrow k^* = \frac {n+1}{2}, \qquad \frac 1\theta =\frac 12 (n+t^2) \Rightarrow \theta^* = \frac 2 {(n+t^2)}$

Bu ve için, integraldeki ve değişkeni içeren terimler bir gama yoğunluğunun çekirdeğidir. Dolayısıyla, integrali ile bölerek ve integralin dışında aynı büyüklükle çarparsak, integral gama dağılımı olacaktır. işlev ve eşit birlik. Bu yüzden geldik $k^*$ $\theta^*$ $(\theta^*)^{k^*}\Gamma(k^*)$

I_{3} = \frac{1}{2} (θ^{*})^{k^{*}} Γ (k^{*}) = \frac{1}{2} (\frac{2}{n + t^{2}})^{\frac{n + 1}{2}} Γ (\frac{n + 1}{2}) = 2^{\frac{n - 1}{2}} n^{- \frac{n + 1}{2}} Γ (\frac{n + 1}{2}) {(1 + \frac{t^{2}}{n})}^{- \frac{1}{2} (n + 1)}

$I_3 = \frac12(\theta^*)^{k^*}\Gamma(k^*) = \frac12 \Big (\frac 2 {n+t^2}\Big ) ^{\frac {n+1}{2}}\Gamma\left(\frac {n+1}{2}\right) = 2^ {\frac {n-1}{2}}n^{-\frac {n+1}{2}}\Gamma\left(\frac {n+1}{2}\right)\left(1+\frac {t^2}{n}\right)^{-\frac 12 (n+1)}$

Yukarıdaki eklentiyi eq. alırız $(3)$

f_{T} (t) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} n^{\frac{n}{2}} 2^{\frac{n - 1}{2}} n^{- \frac{n + 1}{2}} Γ (\frac{n + 1}{2}) {(1 + \frac{t^{2}}{n})}^{- \frac{1}{2} (n + 1)}

$f_T(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}2^ {\frac {n-1}{2}}n^{-\frac {n+1}{2}}\Gamma\left(\frac {n+1}{2}\right)\left(1+\frac {t^2}{n}\right)^{-\frac 12 (n+1)}$

= \frac{Γ [(n + 1) / 2]}{\sqrt{n π} Γ (n / 2)} {(1 + \frac{t^{2}}{n})}^{- \frac{1}{2} (n + 1)}

$=\frac{\Gamma[(n+1)/2]}{\sqrt{n\pi}\,\Gamma(n/2)}\left(1+\frac {t^2}{n}\right)^{-\frac 12 (n+1)}$

... öğrencinin t-dağılımının (yoğunluk fonksiyonu) serbestlik derecesi ile adlandırılan şeydir . $n$

— Alecos Papadopoulos
kaynak

ES Pearson bundan hoşlanmasa da, Fisher'ın orijinal argümanı geometrik, basit, inandırıcı ve titizdi. Az sayıda sezgisel ve kolayca kurulabilen gerçeklere dayanır. Geometrinin iki veya üç boyutta görüntülenebildiği veya olduğunda kolayca görselleştirilebilirler . Aslında, iid Normal değişkenlerini analiz etmek için daki silindirik koordinatların kullanılması anlamına gelir. $s=1$ $s=2$ $\mathbb{R}^s\times\mathbb{R}$ $s+1$

$s+1$ bağımsız ve aynı şekilde dağılmış Normal değişkenleri küresel simetriktir. Bu demektir ki bu noktanın radyal çıkıntı birim küre üzerine bir sahiptir muntazam ilgili dağıtım . $X_1, \ldots, X_{s+1}$ $(X_1, \ldots, X_{s+1})$ $S^s \subset \mathbb{R}^{s+1}$ $S^s$
Bir dağılımı, karelerinin toplamı olan bağımsız standart normal dağılımı özellikleri. $\chi^2(s)$ $s$
Bu nedenle, ve , oranı noktanın enleminin tanjantıdır içinde . $Z=X_{s+1}$ $W = X_1^2 + \cdots + X_s^2$ $Z/\sqrt{W}$ $\theta$ $(X_1, \ldots, X_s, X_{s+1})$ $\mathbb{R}^{s+1}$
$\tan\theta$ , üzerine radyal yansıtma ile değişmez . $S^s$
üzerindeki tüm enlem noktaları tarafından belirlenen küme , yarıçapının boyutlu bir . Bu nedenle boyutlu ölçümü ile orantılıdır $\theta$ $S^s$ $s-1$ $\cos \theta$ $s-1$
$\cos^{s - 1} θ = (1 + \tan^{2} θ)^{- (s - 1) / 2} .$ $\cos^{s-1}\theta = (1 + \tan^2\theta)^{-(s-1)/2}.$
Diferansiyel eleman . $\mathrm{d}(\tan\theta) = \cos^{-2}\theta \,\mathrm{d}\theta = (1 + \tan^2\theta) \,\mathrm{d}\theta$
Yazma verir , nereden ve Bu denklemler birlikteFaktörü dahil edilmesi , bir normalizasyon sabit olarak gösterir yoğunluğunu isimli orantılı $t = Z/\sqrt{W/s} = \sqrt{s}\tan\theta$ $\tan\theta = t/\sqrt{s}$
$1 + t^{2} / s = 1 + \tan^{2} θ$ $1+t^2/s = 1+\tan^2\theta$ $d t = \sqrt{s} d \tan θ = \sqrt{s} (1 + \tan^{2} θ) d θ .$ $\mathrm{d}t = \sqrt{s}\,\mathrm{d}\tan\theta = \sqrt{s}(1+\tan^2\theta)\,\mathrm{d}\theta.$ $d θ = \frac{1}{\sqrt{s}} {(1 + t^{2} / s)}^{- 1} d t .$ $\mathrm{d}\theta = \frac{1}{\sqrt{s}} \left(1+t^2/s\right)^{-1}\mathrm{d}t.$ $1/\sqrt{s}$ $C(s)$

$(1 + \tan^{2} θ)^{- (s - 1) / 2} d θ = (1 + t^{2} / s)^{- (s - 1) / 2} (1 + t^{2} / s)^{- 1} d t = (1 + t^{2} / s)^{- (s + 1) / 2} d t .$ $(1 + \tan^2\theta)^{-(s-1)/2}\,\mathrm{d}\theta = (1 + t^2/s)^{-(s-1)/2}\ (1 + t^2/s)^{-1}\,\mathrm{d}t = (1 + t^2/s)^{-(s+1)/2}\,\mathrm{d}t.$

Öğrenci t yoğunluğu budur.

şekil

Şekil (üst yarım küre göstermektedir arasında) içinde . Çapraz eksenler hiper düzlemini kapsar. Siyah noktalar, değişkenli standart Normal dağılımın rastgele bir örneğinin parçasıdır : Bunlar sarı bant olarak gösterilen sabit bir enlem yansıtılan değerlerdir . Bu noktaların yoğunluğu o bandın -boyutlu hacmi ile orantılıdır , ki bu da kendisi yarıçapı bir . Bu bandın üzerindeki koni yüksekliğinde sonlanacak şekilde çizilir . faktörüne kadar $Z \ge 0$ $S^s$ $\mathbb{R}^{s+1}$ $W$ $s+1$ $\theta$ $s-1$ $S^{s-1}$ $\theta$ $\tan \theta$ $\sqrt{s}$ , serbestlik dereceli Student t dağılımı , bu yüksekliğin birim küre alanı birliğini normalleştirmesi üzerine sarı bandın ölçüsüyle ağırlıklandırıldığı dağılımdır . $s$ $S^s$

Bu arada, normalleştirme sabiti kürelerin bağıl hacimlerinin (daha önce bahsedildiği gibi) katı olmalıdır , $1/\sqrt{s}$

\begin{aligned} C (s) & = \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{| S^{s - 1} |}{| S^{s} |} = \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{s π^{s / 2} Γ (\frac{s + 1}{2} + 1)}{(s + 1) π^{(s + 1) / 2} Γ (\frac{s}{2} + 1)} \\ = \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{s π^{s / 2} (s + 1) / 2 Γ (\frac{s + 1}{2})}{(s + 1) π^{(s + 1) / 2} (s / 2) Γ (\frac{s}{2})} \\ = \frac{Γ (\frac{s + 1}{2})}{\sqrt{s π} Γ (\frac{s}{2})} . \end{aligned}

$\eqalign{ C(s) &= \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{|S^{s-1}|}{|S^s|} = \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{s \pi^{s/2} \Gamma(\frac{s+1}{2} + 1)}{(s+1)\pi^{(s+1)/2} \Gamma(\frac{s}{2}+1)} \\ &=\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{s \pi^{s/2} (s+1)/2\Gamma(\frac{s+1}{2})}{(s+1)\pi^{(s+1)/2} (s/2)\Gamma(\frac{s}{2})} \\ &= \frac{\Gamma(\frac{s+1}{2})}{\sqrt{s\pi}\Gamma(\frac{s}{2})}. }$

Son ifade, geleneksel olmasına rağmen , anlamını açıkça ortaya koyan güzel basit başlangıç ifadesini hafifçe gizler . $C(s)$

Fisher, WS Gosset'e (orijinal "Öğrenci") bu türe bir mektupta açıkladı. Gosset, Fisher'a tam kredi vererek onu yayınlamaya çalıştı, ancak Pearson gazeteyi reddetti. Fisher'in yöntemi, bir örnek korelasyon katsayısının dağılımını bulmak için büyük ölçüde benzer ancak daha zor bir probleme uygulandığı gibi, sonunda yayınlanmıştır.

Referanslar

RA Fisher, Süresiz Olarak Büyük Bir Nüfustan Örneklerde Korelasyon Katsayısının Değerlerinin Frekans Dağılımı. Biometrika Vol. 4, Mayıs 415 (Mayıs 1915), sayfa 507-521. Web'de https://stat.duke.edu/courses/Spring05/sta215/lec/Fish1915.pdf adresinde bulunabilir (ve bu bağlantı kaybolduğunda başka birçok yerde arama yaparak).

Joan Fisher Box, Gosset, Fisher ve Dağıtım. Amerikan İstatistikçi , Cilt. 35, No. 2 (Mayıs 1981), sayfa 61-66. Web'de http://social.rollins.edu/wpsites/bio342spr13/files/2015/03/Studentttest.pdf adresinde bulunabilir .

EL Lehmann, Fisher, Neyman ve Klasik İstatistiklerin Oluşturulması. Springer (2011), Bölüm 2.

— whuber
kaynak

Bu harika bir kanıt! Umarım bu mesajı birkaç yıl geçmiş olmasına rağmen bulursunuz. Bu kanıtın altıncı adımında bir hata olduğuna inanıyorum. Cos ^ -2 (teta) = (1 + tan ^ 2 (teta)), ters değil. Dua etmek kolay bir düzeltme var mı?

— Matematik

@Math Düşünceleriniz için teşekkür ederim. 6. adımda herhangi bir hata bulamıyorum. Belki de " " ( nın gücü " "?

\cos^{- 2} (θ)

$\cos^{-2}(\theta)$

- 2

$-2$

\cos (θ)

$\cos(\theta)$

{(ArcCos (θ))}^{2}

$\left(\operatorname{ArcCos}(\theta)\right)^{2}$

— whuber

Basit kimlik kullanılan için anlamak bu Hat 5 Ancak, 6. satırdaki aynı mantıkla, . Bu, diferansiyel elemanın

s e c^{2} θ = t a n^{2} θ + 1

$sec^{2}\theta = tan^{2}\theta + 1$

c o s θ = (t a n^{2} θ + 1)^{- 1 / 2}

$cos\theta=(tan^{2}\theta+1)^{-1/2}$

c o s^{- 2} θ = s e c^{2} θ = (t a n^{2} θ + 1)

$cos^{-2}\theta = sec^{2}\theta = (tan^{2}\theta + 1)$

(t a n^{2} θ + 1)^{- 1}

$(tan^{2}\theta + 1)^{-1}$

— Matematik

@Math Teşekkürler - haklısın elbette. Cebiri düzeltmek için (6) ve (7) noktalarını düzenledim.

— whuber

Vay be, ne rahatlama! Size mutlu tatiller

— Matematik Meraklısı

Değişkenleri değiştirmeyi denerdim. Takım ve , örneğin. Yani , . Sonra. Burada değişkenli fonksiyonu için Jacobi matristir ve arasında ve . Sonra eklem yoğunluğundan entegre edebilirsiniz . , , ve $Y=\frac{Z}{\sqrt{\frac{W}{s}}}$ $X=Z$ $Z=X$ $W=\frac{sX^2}{Y^2}$ $f_{X,Y}(x,y)=f_{Z,W}(x,\frac{sx^2}{y^2})|\det(J)|$ $J$ $Z$ $W$ $X$ $Y$ $x$ $\frac{\partial Z}{\partial X}=1$ $\frac{\partial Z}{\partial Y}=0$ $\frac{\partial W}{\partial X}=\frac{2sX}{Y^2}$ $\frac{\partial W}{\partial Y}=\frac{-2sX^2}{Y^3}$ .

J = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ * & \frac{- 2 s X^{2}}{Y^{3}} \end{matrix})

$J= \begin{pmatrix} 1&0\\ *&\frac{-2sX^2}{Y^3} \end{pmatrix}$

Böylece . Thomas A. Severini'nin Dağıtım Teorisi Unsurlarına bir göz attım ve orada alıyorlar . Bir Gaama dağılımının özelliklerini kullanarak işleri entegre etmek daha kolay hale gelir. Ben kullanırsanız , muhtemelen tam kareler gerekir. $|\det(J)|=\frac{2sx^2}{y^3}$ $X=W$ $X=Z$

Ama hesaplamayı yapmak istemiyorum.

— ztyh
kaynak

Seni aşağılamadım, aslında seni az önce iptal ettim. Ama sanırım downvote düzenlemeden önce geldi.

— Monolit

Üzgünüm, bundan sonra dikkatli olacağım.

— ztyh