Brownian köprüsünün üstünlüğünün neden Kolmogorov-Smirnov dağılımı var?

Kolmogorov-Smirnov dağılımı Kolmogorov-Smirnov testinden bilinmektedir . Ancak, aynı zamanda Brownian köprüsünün supremumunun dağılımıdır.

Bu bariz olmaktan çok uzak olduğu için sizden bu tesadüfün sezgisel bir açıklamasını istemek istiyorum. Referanslarımız da memnuniyetle karşılanmaktadır.

$\sqrt{n}\sup_x|F_n-F|=\sup_x|\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^nZ_i(x)|$

burada $Z_i(x)=1_{X_i\leq x}-E[1_{X_i\leq x}]$

CLT ile $G_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^nZ_i(x)\rightarrow \mathcal{N}(0,F(x)(1-F(x)))$

bu sezgi ...

Brownian köprü varyans sahiptir t ( 1 - t ) http://en.wikipedia.org/wiki/Brownian_bridge yerine t ile F ( x ) . Bu bir x için ...$B(t)$$t(1-t)$ $t$$F(x)$$x$

Kovaryansı da kontrol etmeniz gerekir ve bu nedenle ( ) ( G n ( x 1 ) , … , G n ( x k ) ) → ( B 1 , ... , B k ) burada ( B 1 , ... , B k ) olan N- ( 0 , Σ ) ile$x_1,\dots,x_k$$(G_n(x_1),\dots,G_n(x_k))\rightarrow (B_1,\dots,B_k)$$(B_1,\dots,B_k)$$\mathcal{N}(0,\Sigma)$ , σ i j = min ( F ( x i ) , F ( x j ) ) - F ( x i ) F ( x j ) . $\Sigma=(\sigma_{ij})$$\sigma_{ij}=\min(F(x_i),F(x_j))-F(x_i)F(x_j)$

Zor kısmı sınırının suppremum dağılımı sınırı dağılımının sup olduğunu göstermektir ... bunun neden böyle anlamak böyle Waart ve Welner (değil kolay) der van olarak kitap okuma, bazı ampirik süreç teorisini gerektirir . Teorem adı Donsker Teoremidir http://en.wikipedia.org/wiki/Donsker%27s_theorem ...

Kolmogorov-Smirnov için sıfır hipotezini düşünün. Belirli bir dağılımdan bir örnek alındığını söylüyor. Yani örnek için ampirik dağılım fonksiyonunu kurarsanız f ( x ) = $n$, sonsuz veri sınırında, temeldeki dağılıma yaklaşır.$f(x) = \frac{1}{n} \sum_i \chi_{(-\infty, X_i]}(x)$

Sonlu bilgi için kapalı olacaktır. Ölçümlerden biri , x = q'da ampirik dağılım fonksiyonu bir adım ileri gider. Buna, gerçek dağıtım işleviyle başlayıp bitmesi kısıtlanmış rastgele bir yürüyüş olarak bakabiliriz. Bunu öğrendikten sonra, böyle bir yürüyüşün beklenen en büyük sapmasının ne olduğunu bulmak için rastgele yürüyüşler hakkında bilinen büyük miktarda bilgi için literatürü araştırın.$q$$x=q$

Aynı hileyi ampirik ve temeldeki dağıtım fonksiyonları arasındaki farkın herhangi bir normuyla yapabilirsiniz. İçin p = 2 , bu Cramer-von Mises testi denir. Bu tür testlerin keyfi gerçek, pozitif p için herhangi bir türden tam bir sınıf oluşturduğunu bilmiyorum, ama bakmak ilginç bir şey olabilir.$p$$p=2$$p$