Sıfır çarpıklık ve sıfır fazla basıklık ile normal olmayan dağılımlar?

Çoğunlukla teorik soru. İlk dört momenti normalinkine eşit olan normal olmayan dağılım örnekleri var mı? Teoride var olabilirler mi?

Evet, çarpıklığı ve fazla basıklık olan örneklerin her ikisinin de sıfır olması nispeten kolaydır. (Aslında aşağıdaki (a) ila (d) örneklerinde Pearson ortalama medyan çarpıklığı da vardır 0)

(a) Örneğin, bu cevapta , 50-50'lik bir gama varyasyonu karışımı ( $X$ ) ve buna benzeyen bir yoğunluğa sahip ikinci bir negatifin bir örneği alınarak bir örnek verilir :

Açıkçası sonuç simetrik ve normal değil. Ölçek parametresi burada önemsizdir, bu yüzden bunu yapabiliriz 1. Gama şekil parametresinin dikkatli bir şekilde seçilmesi, gerekli basıklığı verir:

1. Bu çift gama ( $Y$ ) 'nın varyansı, dayalı olduğu gama değişkeni açısından kolayca hesaplanabilir: $\text{Var}(Y)=E(X^2)=\text{Var}(X)+E(X)^2=\alpha+\alpha^2$ .

2. Değişken dördüncü merkezi an $Y$ ile aynıdır $E(X^4)$ bir gama (için, $\alpha$ ) olan $\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)$

Sonuç olarak basıklık $\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha^2(\alpha+1)^2}=\frac{(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha(\alpha+1)}$ . Bu$3$$(\alpha+2)(\alpha+3)=3\alpha(\alpha+1)$, burada ne olur$\alpha=(\sqrt{13}+1)/2\approx 2.303$.

(b) İki üniformanın ölçekli karışımı olarak da bir örnek oluşturabiliriz. Let $U_1\sim U(-1,1)$ ve izin$U_2\sim U(-a,a)$ ve izin$M=\frac12 U_1+\frac12 U_2$ . Açıkça,$M$ simetrik ve sonlu bir aralığa sahip olduğudüşünüldüğünde,$E(M)=0$ olmalı; çarpıklık da 0 olacak ve merkezi anlar ile ham anlar aynı olacaktır.

$\text{Var}(M)=E(M^2)=\frac12\text{Var}(U1)+\frac12\text{Var}(U_2)=\frac16[1+a^2]$.

Benzer şekilde, $E(M^4)=\frac{1}{10} (1+a^4)$ ve böylece basıklık$\frac{\frac{1}{10} (1+a^4)}{[\frac16 (1+a^2)]^2}=3.6\frac{1+a^4}{(1+a^2)^2}$

A = √ seçersek$a=\sqrt{5+\sqrt{24}}\approx 3.1463$, o zaman basıklık 3'tür ve yoğunluk şöyle görünür:

(c) İşte eğlenceli bir örnek. Let $X_i\stackrel{_\text{iid}}{\sim}\text{Pois}(\lambda)$ için, $i=1,2$ .

Let $Y$ bir 50-50 karışımı $\sqrt{X_1}$ ve$-\sqrt{X_2}$

$E(Y)=0$$E(|Y|)$$E(X_1)$

$Var(Y)=E(Y^2)=E(X_1)=\lambda$

simetri ile (ve mutlak 3. momentin var olması) çarpıklık = 0

$E(Y^4) = E(X_1^2) = \lambda+\lambda^2$

$\frac{\lambda+\lambda^2}{\lambda^2}= 1+1/\lambda$

so when $\lambda=\frac12$, kurtosis is 3. This is the case illustrated above.

(d) all my examples so far have been symmetric, since symmetric answers are easier to create -- but asymmetric solutions are also possible. Here's a discrete example.

As you see, none of these examples look particularly "normal". It would be a simple matter to make any number of discrete, continuous or mixed variables with the same properties. While most of my examples were constructed as mixtures, there's nothing special about mixtures, other than they're often a convenient way to make distributions with properties the way you want, a bit like building things with Lego.

This answer gives some additional details on kurtosis that should make some of the considerations involved in constructing other examples a little clearer.

You could match more moments in similar fashion, though it requires more effort to do so. However, because the MGF of the normal exists, you can't match all integer moments of a normal with some non-normal distribution, since that would mean their MGFs match, implying the second distribution was normal as well.

Good points are made by Glen_b. I would only add consideration of the Dirac Delta function as additional grist for the mill. As Wikipedia notes, "The DDF is a generalized function, or distribution, on the real number line that is zero everywhere except at zero, with an integral of one over the entire real line" with the consequence that all higher moments of the DDF are zero.

Paul Dirac applies it to quantum mechanics in his 1931 book The Principles of Quantum Mechanics but it's origins date back to Fourier, Lesbesgue, Cauchy and others. The DDF also has physical analogues in modeling the distribution, e.g., of the crack of a bat hitting a baseball.