Artık grafikler: neden gözlemlenen değerlerine değil, yerleştirilmiş değerlere karşı çizim ?

OLS regresyonu bağlamında, sabit varyansın test edilmesi ve model spesifikasyonunun değerlendirilmesi için geleneksel olarak bir artık grafiğin (takılan değerlere karşı) görüntülendiğini anlıyorum. Kalanlar neden değerlerine değil, uyumlara karşı çizilir ? Bilgiler bu iki grafikten nasıl farklı?$Y$

Aşağıdaki artık grafikleri üreten bir model üzerinde çalışıyorum:

Dolayısıyla, yerleştirilen değerlere karşı grafik hızlı bir bakışta iyi görünüyor, ancak $Y$ değerine karşı ikinci grafik bir kalıba sahip. Neden böyle belirgin bir desenin artık vs vs arsada ortaya çıkmadığını merak ediyorum ....

Modelle ilgili sorunları teşhis etmede yardım aramıyorum, sadece (genellikle) (1) rezidüel ve fit komplo ile (2) rezidüel ve komplo arasındaki farkları (genellikle) anlamaya çalışıyorum . $Y$

Ne için değer, eminim ikinci grafikte hata desen DV etkileyen ihmal değişken (ler) nedeniyle. Şu anda, genel uyum ve spesifikasyona yardımcı olacağını umduğum verileri elde etmeye çalışıyorum. Gayrimenkul verileri ile çalışıyorum: DV = Satış Fiyatı. IV'ler: Sq.ft of house, # garaj alanı, yapım yılı, yapım yılı . $^2$

Yapım gereği, bir OLS modelindeki hata terimi, X ortak değişkenlerinin gözlenen değerleri ile ilişkili değildir. Model, bir parametrenin gerçek değerlerini yansıtmayan önyargılı tahminler vermiş olsa bile, gözlemlenen veriler için her zaman doğru olacaktır çünkü modelin bir varsayımı ihlal edilmiştir (atlanmış değişken problem veya ters nedensellik sorunu gibi). Öngörülen değerler tamamen bu ortak değişkenlerin bir işlevidir, bu nedenle hata terimiyle de ilişkilendirilmezler. Bu nedenle, kalıntıları tahmin edilen değerlere göre çizdiğinizde, bunlar her zaman rastgele görünmelidir, çünkü bunlar tahmin edicinin inşasıyla gerçekten ilişkisizdir. Buna karşılık, bir modelin hata teriminin pratikte Y ile ilişkilendirilmesi tamamen (ve aslında muhtemeldir). Örneğin, bir dikotom X değişkeni ile gerçek Y,E(Y | X = 1)veya E(Y | X = 0)daha sonra artık daha büyük olacaktır. İşte R'deki modelin tarafsız olduğunu bildiğimiz simüle edilmiş verilerle aynı sezgi: çünkü veri oluşturma sürecini kontrol ediyoruz:

rm(list=ls())
set.seed(21391209)

trueSd <- 10
trueA <- 5
trueB <- as.matrix(c(3,5,-1,0))
sampleSize <- 100

# create independent x-values
x1 <- rnorm(n=sampleSize, mean = 0, sd = 4)
x2 <-  rnorm(n=sampleSize, mean = 5, sd = 10)
x3 <- 3 + x1 * 4 + x2 * 2 + rnorm(n=sampleSize, mean = 0, sd = 10)
x4 <- -50 + x1 * 7 + x2 * .5 + x3 * 2  + rnorm(n=sampleSize, mean = 0, sd = 20)
X = as.matrix(cbind(x1,x2,x3,x4))


# create dependent values according to a + bx + N(0,sd)
Y <-  trueA +  X %*%  trueB  +rnorm(n=sampleSize,mean=0,sd=trueSd)


df = as.data.frame(cbind(Y,X))
colnames(df) <- c("y", "x1", "x2", "x3", "x4")
ols = lm(y~x1+x2+x3+x4, data = df)
y_hat = predict(ols, df)
error = Y - y_hat
cor(y_hat, error) #Zero
cor(Y, error) #Not Zero

Yanlı bir modelle aynı sıfır korelasyon sonucunu elde ederiz, örneğin atlarsak x1.

ols2 = lm(y~x2+x3+x4, data = df)
y_hat2 = predict(ols2, df)
error2 = Y - y_hat2
cor(y_hat2, error2) #Still zero
cor(Y, error2) #Not Zero

Benimle mutlu olduğunu düşündüğüm iki gerçek:

ben. $y_i = \hat{y}_i+\hat{e}_i$

ii. $\text{Cov}(\hat{y}_i,\hat{e}_i)=0$

Sonra:

$\text{Cov}(y_i,\hat{e}_i)=\text{Cov}(\hat{y}_i+\hat{e}_i,\hat{e}_i)$

$\qquad=\text{Cov}(\hat{y}_i,\hat{e}_i) +\text{Cov}(\hat{e}_i,\hat{e}_i)$

$\qquad=0 +\sigma^2_e$

$\qquad=\sigma^2_e$

Yerleştirilen değeri kalıntı ile ilişkili değilken Yani, gözlem olduğunu .

Gerçekte, bunun nedeni hem gözlem hem de artıkların hata terimi ile ilgili olmasıdır.

Bu, artık arsaların teşhis amaçlı kullanılmasını genellikle biraz zorlaştırır.