Lütfen nin dışbükey olduğuna dair kanıt sağlayın . Burada, ve sırasıyla standart normal PDF ve CDF'dir.$Q\left(x\right)=x^{2}+x\frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)}$$\forall x>0$$\phi$$\mathbf{\Phi}$

TRIPS TRIED

1) HESAP YÖNTEMİ

Matematik yöntemini denedim ve ikinci türev için bir formül var, ancak pozitif olduğunu göremiyorum . Daha fazla ayrıntıya ihtiyacınız olursa lütfen bize bildirin.$\forall x > 0$

Son olarak,

$$\begin{eqnarray*} \text{Let }Q\left(x\right)=x^{2}+x\frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)} \end{eqnarray*}$$ ∂ Q ( x $$\begin{eqnarray*} \frac{\partial Q\left(x\right)}{\partial x} & = & 2x+x\left[-\frac{x\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)}-\left\{ \frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)}\right\} ^{2}\right]+\frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)} \end{eqnarray*}$$ ∂ 2 Q(x $$\begin{eqnarray*} \left.\frac{\partial Q\left(x\right)}{\partial x}\right|_{x=0} & = & \frac{\phi\left(0\right)}{\Phi\left(0\right)}>0 \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^{2}Q\left(x\right)}{\partial x^{2}} & = & 2+x\phi\left(x\right)\left[\frac{-\Phi^{2}\left(x\right)+x^{2}\Phi^{2}\left(x\right)+3x\phi\left(x\right)\Phi\left(x\right)+2\phi^{2}\left(x\right)}{\Phi^{3}\left(x\right)}\right]+2\left[-x\frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)}-\left\{ \frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)}\right\} ^{2}\right] \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} & = & 2+\phi\left(x\right)\left[\frac{x^{3}\Phi^{2}\left(x\right)+3x^{2}\phi\left(x\right)\Phi\left(x\right)+2x\phi^{2}\left(x\right)-3x\Phi^{2}\left(x\right)-2\phi\left(x\right)\Phi\left(x\right)}{\Phi^{3}\left(x\right)}\right]\\ \end{eqnarray*}$$ Let, K(x)=2Φ3(x)+2xϕ3(x)+Φ2(x)ϕ(x)x[x2-3]+ϕ2(x)Φ(x)[3x2-2] $$\begin{eqnarray*} & = & \left[\frac{2\Phi^{3}\left(x\right)+x^{3}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+3x^{2}\phi^{2}\left(x\right)\Phi\left(x\right)+2x\phi^{3}\left(x\right)-3x\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)-2\phi^{2}\left(x\right)\Phi\left(x\right)}{\Phi^{3}\left(x\right)}\right] \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} \text{Let, }K\left(x\right)=2\Phi^{3}\left(x\right)+2x\phi^{3}\left(x\right)+\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)x\left[x^{2}-3\right]+\phi^{2}\left(x\right)\Phi\left(x\right)\left[3x^{2}-2\right] \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} K\left(0\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2\pi}>0 \end{eqnarray*}$$ için $x\geq\sqrt{3},K\left(x\right)>0$ . İçin $x\in\left(0,\sqrt{3}\right)$ , K ′ ( x $$\begin{eqnarray*} K'\left(x\right) & = & 6\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+2\phi^{3}\left(x\right)-6x^{2}\phi^{3}\left(x\right)+2\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)\left[x^{3}-3x\right]-\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)\left[x^{4}-3x^{2}\right]+\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)\left[3x^{2}-3\right]\\ & & -2\phi^{2}\left(x\right)\Phi\left(x\right)\left[3x^{3}-2x\right]+\phi^{3}\left(x\right)\left[3x^{2}-2\right]+\phi^{2}\left(x\right)\Phi\left(x\right)6x \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} K'\left(x\right) & = & 6\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)-3\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+2\phi^{3}\left(x\right)-2\phi^{3}\left(x\right)+6x\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)-6x\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)+3x^{2}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+3x^{2}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)\\ & & +2x^{3}\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)-6x^{3}\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)+3x^{2}\phi^{3}\left(x\right)-6x^{2}\phi^{3}\left(x\right)+4x\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)-x^{4}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right) \end{eqnarray*}$$ = ϕ ( x ) [ 3 Φ 2 ( x ) + x { 6 x Φ 2 ( x ) - 3 x ϕ 2 ( x ) - x 3 Φ 2 ( x ) + 4 Φ ( x ) ϕ ( x ) [ 1 - $$\begin{eqnarray*} & = & 3\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+6x^{2}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+4x\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)-3x^{2}\phi^{3}\left(x\right)-x^{4}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)-4x^{3}\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right) \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} =\phi\left(x\right)\left[3\Phi^{2}\left(x\right)+x\left\{ 6x\Phi^{2}\left(x\right)-3x\phi^{2}\left(x\right)-x^{3}\Phi^{2}\left(x\right)+4\Phi\left(x\right)\phi\left(x\right)\left[1-x^{2}\right]\right\} \right] \end{eqnarray*}$$

2) GRAFİK / SAYISAL YÖNTEM

Bunu, aşağıda gösterildiği gibi grafikleri çizerek sayısal ve görsel olarak da görebildim; ancak uygun bir ispatın olması faydalı olacaktır.

ikinci türevinin için pozitif olduğunu gösterelim . İlk olarak, ve nasıl ayırt edeceğimizi bilmemiz gerekir .$Q$$x \ge 0$$\Phi$$\phi$

Tanım olarak,

$$\frac{d}{dx}\Phi(x) = \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp(-x^2/2).$$ Farklılaştırmak bir kez daha verir

$$\frac{d}{dx}\phi(x) = -x \phi(x).$$

Bu sonucu başka bir türev ürüne uygulamak

$$\frac{d^2}{dx^2}\phi(x) = (-1 + x^2)\phi(x).$$

Bu sonuçları kullanarak, her zamanki ürün ve bölüm farklılaşma kuralları ile birlikte, ikinci türevin payının altı terimin toplamı olduğunu görüyoruz. (Bu sonuç sorunun ortasında elde edilmiştir.) Terimleri üç gruba ayırmak uygundur:

$$\eqalign{ \Phi(x)^3\frac{d^2}{dx^2}Q(x)= &2 x \phi(x)^3 \\ &+\,3 x^2 \phi(x)^2 \Phi(x)+x^3 \phi(x) \Phi(x)^2 \\ &+\,\Phi(x) \left(-2 \phi(x)^2-3 x \phi(x) \Phi(x)+2 \Phi(x)^2\right). }$$

Çünkü bir olasılık yoğunluk, bu negatif olmayan ve bu nedenle dağıtım fonksiyonudur . Bu nedenle, olduğunda yalnızca üçüncü terim negatif olabilir . Onun işareti ikinci faktörünün işareti ile aynıdır,$\phi$$\Phi$$x\ge 0$

$$R(x) = -2 \phi(x)^2-3 x \phi(x) \Phi(x)+2 \Phi(x)^2.$$

Bu faktörün olumsuz olamayacağını göstermenin birçok yolu vardır. Birincisi,

$$R(0) = -2\phi(0) + 2\Phi(0) = 1 - \sqrt{\frac{2}{\pi}} \gt 0.$$

Farklılaşma - öncekiyle aynı basit teknikleri kullanarak -

$$\frac{d}{dx} R(x) = \phi(x)(x \phi(x) + (1 + 3x^2)\Phi(x))$$

için açıkça pozitif olan . Bu nedenle , aralığında artan bir fonksiyondur . Minimum değeri , tüm için .R ( x ) [ 0 , ∞ ) R ( 0 ) > 0 R ( x ) > 0 x ≥ $x\ge 0$$R(x)$$[0, \infty)$$R(0) \gt 0$$R(x)\gt 0$$x \ge 0$

, QED için pozitif ikinci türevi olduğunu gösterdik .x ≥ $Q$$x \ge 0$