Neden on- çizgisi ve on- çizgisinin iki değişkenli regresyon katsayılarının çarpımı korelasyonun karesine eşittir?

11

Regresyon modeli var burada ile ve bir korelasyon katsayısına sahiptir, . $Y = a + bX$ $a = 1.6$ $b=0.4$ $r = 0.60302$

Daha sonra $X$ ve $Y$ değiştirilir ve denklem , $X = c + dY$ burada $c=0.4545$ ve $d=0.9091$ , $r$ değeri $0.60302$ .

Birisi neden $(d\times b)^{0.5}$ de $0.60302$ .

correlation regression-coefficients

— mikrofon
kaynak

17

$b = r \; \text{SD}_y / \text{SD}_x$ ve $d = r \; \text{SD}_x / \text{SD}_y$ , bu nedenle $b\times d = r^2$ .

Birçok istatistik ders kitabı buna değinecekti; Freedman ve ark., Statistics'i seviyorum . Ayrıca buraya ve bu wikipedia makalesine bakın .

— Karl
kaynak

10

Korelasyon Katsayısına Bakmanın On Üç Yolu'na bir bakın - ve özellikle 3, 4, 5'in yolları sizin için en çok ilgi çekici olacaktır.

Rodgers, JL ve Nicewander, WA (1988). Korelasyon katsayısına bakmanın 13 yolu . Amerikan İstatistikçi, 42, 1 , s. 59-66.

— Meraklı
kaynak

2

Bu muhtemelen bir yorum olmalıydı. Bağlantının kaybolduğunu unutmayın. Bağlantıyı güncelledim ve tam bir alıntı sağladım. Bağlantı yeniden kopsa bile, yine de değerli olacak şekilde ek bilgi verebilir misiniz veya ek bilgi verebilir misiniz?

— gung - Monica'yı eski

2

Rodgers & Nicewander makalesi sitemizde stats.stackexchange.com/q/70969/22228 adresinde özetlenmiştir .

— whuber

3

$\DeclareMathOperator{\Cov}{Cov}$ $\DeclareMathOperator{\Corr}{Corr}$ $\DeclareMathOperator{\SD}{SD}$ $\DeclareMathOperator{\Var}{Var}$ $\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}$ $\DeclareMathOperator{\nsum}{\sum_{i=1}^{n}}$

Birçok giriş metninin tanımladığını hatırlayın

S_{x y} = \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})

$S_{xy} = \nsum (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)$

Daha sonra ayarlayarak olarak Elimizdeki benzer şekilde ve . $y$ $x$ $S_{xx} = \nsum (x_i - \bar x)^2$ $S_{yy} = \nsum (y_i - \bar y)^2$

Korelasyon katsayısı için formüller , eğimi -On- regresyon (sizin ) ve eğimi -On- regresyon (sizin ) çoğu zaman verilmiştir: $r$ $y$ $x$ $b$ $x$ $y$ $d$

\begin{aligned} (1) & r & = \frac{S_{x y}}{\sqrt{S_{x x} S_{y y}}} \\ (2) & {\hat{β}}_{y on x} & = \frac{S_{x y}}{S_{x x}} \\ (3) & {\hat{β}}_{x on y} & = \frac{S_{x y}}{S_{y y}} \end{aligned}

$\begin{align} r &= \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}} \tag{1} \\ \hat \beta_{y\text{ on }x} &= \frac{S_{xy}}{S_{xx}} \tag{2} \\ \hat \beta_{x\text{ on }y} &= \frac{S_{xy}}{S_{yy}} \tag{3} \end{align}$

Sonra ve çarpımı açıkça in karesini verir : $(2)$ $(3)$ $(1)$

{\hat{β}}_{y on x} \cdot {\hat{β}}_{x on y} = \frac{S_{x y}^{2}}{S_{x x} S_{y y}} = r^{2}

$\hat \beta_{y\text{ on }x} \cdot \hat \beta_{x\text{ on }y} = \frac{S_{xy}^2}{S_{xx}S_{yy}} = r^2$

Alternatif olarak, , ve deki fraksiyonların payları ve paydaları genellikle veya olarak bölünür, böylece işler örnek veya tahmini varyanslar ve kovaryanslar açısından çerçevelenir. Örneğin, , tahmini korelasyon katsayısı, tahmini standart sapmalara göre ölçeklendirilmiş, sadece tahmini kovaryanstır: $(1)$ $(2)$ $(3)$ $n$ $(n-1)$ $(1)$

\begin{aligned} (4) & r & = \hat{Corr} (X, Y) = \frac{\hat{Cov} (X, Y)}{\hat{SD (X)} \hat{SD (Y)}} \\ (5) & {\hat{β}}_{y on x} & = \frac{\hat{Cov} (X, Y)}{\hat{Var (X)}} \\ (6) & {\hat{β}}_{x on y} & = \frac{\hat{Cov} (X, Y)}{\hat{Var (Y)}} \end{aligned}

$\begin{align} r &= \widehat \Corr(X,Y) = \frac{\widehat \Cov(X,Y)}{\widehat{\SD(X)}\widehat{\SD(Y)}} \tag{4} \\ \hat \beta_{y\text{ on }x} &= \frac{\widehat \Cov(X,Y)}{\widehat{\Var(X)}} \tag{5} \\ \hat \beta_{x\text{ on }y} &= \frac{\widehat \Cov(X,Y)}{\widehat{\Var(Y)}} \tag{6} \end{align}$

Sonra hemen çarparak gelen bulmak ve o $(5)$ $(6)$

{\hat{β}}_{y on x} {\hat{β}}_{x on y} = \frac{\hat{Cov} (X, Y)^{2}}{\hat{Var (X)} \hat{Var (Y)}} = {(\frac{\hat{Cov} (X, Y)}{\hat{SD (X)} \hat{SD (Y)}})}^{2} = r^{2}

$\hat \beta_{y\text{ on }x} \hat \beta_{x\text{ on }y} = \frac{\widehat \Cov(X,Y)^2}{\widehat{\Var(X)}\widehat{\Var(Y)}} = \left( \frac{\widehat \Cov(X,Y)}{\widehat{\SD(X)}\widehat{\SD(Y)}} \right)^2 = r^2$

Bunun yerine , kovaryansı "büyütülmüş" bir korelasyon olarak yazmak için yeniden düzenleyebiliriz : $(4)$

\begin{matrix} (7) & \hat{Cov} (X, Y) = r \cdot \hat{SD (X)} \hat{SD (Y)} \end{matrix}

$\widehat \Cov(X,Y) = r\cdot \widehat{\SD(X)} \widehat{\SD(Y)} \tag{7}$

Sonra yerine ve regresyon katsayılarını ve . Bunları birlikte çoğaltmak da üretir ve bu da Karl'ın çözümüdür. Eğimleri bu şekilde yazmak, korelasyon katsayısını standart bir regresyon eğimi olarak nasıl görebileceğimizi açıklamaya yardımcı olur . $(7)$ $(5)$ $(6)$ $\hat \beta_{y\text{ on }x} = r \frac{\widehat \SD(y)}{\widehat \SD(x)}$ $\hat \beta_{x\text{ on }y} = r \frac{\widehat \SD(x)}{\widehat \SD(y)}$ $r^2$

Son olarak, durumunuzda ancak bunun nedeni korelasyonunuz pozitifti. Eğer korelasyonunuz negatif olsaydı, negatif kökü almanız gerekirdi. $r = \sqrt{bd} =\sqrt{\hat \beta_{y\text{ on }x} \hat \beta_{x\text{ on }y}}$

Korelasyonunuzun pozitif veya negatif olup olmadığını anlamak için, regresyon katsayınızın işaretini (artı veya eksi) dikkate almanız yeterlidir - -on-0 veya -on- bakmak önemli değildir. çünkü işaretleri aynı olacak. Böylece formülü kullanabilirsiniz: $y$ $x$ $x$ $y$

r = sgn ({\hat{β}}_{y on x}) \sqrt{{\hat{β}}_{y on x} {\hat{β}}_{x on y}}

$r = \sgn(\hat \beta_{y\text{ on }x}) \sqrt{\hat \beta_{y\text{ on }x} \hat \beta_{x\text{ on }y}}$

burada olan sinyalnum fonksiyonu , diğer bir deyişle eğim pozitif olup olmadığını eğimi negatif ise. $\sgn$ $+1$ $-1$

— Gümüş Balık
kaynak

1

Sen bulabilir bu cevabı açıkça soru burada sorulan hitap etmese de ilgi olması benim.

— Dilip Sarwate