Maksimum numune varyansı nedir?

Ben rastgele değişkenler bir dizi maksimum varyans sınırlarını arıyorum. Diğer bir deyişle, kapalı formlu formüller arıyorum , öyle ki sabit olduğu sonlu rastgele değişkenler kümesi ve varyanslar . $B$

Var (max_{i} X_{i}) \leq B,

$\mbox{Var}(\max_i X_i) \leq B \enspace,$

X = {X_{1}, \dots, X_{M}}

$X = \{ X_1, \ldots, X_M \}$

M

$M$

μ_{1}, \dots, μ_{M}

$\mu_1, \ldots, \mu_M$

σ_{1}^{2}, \dots, σ_{M}^{2}

$\sigma_1^2, \ldots, \sigma_M^2$

Ben can anlamak o

Var (max_{i} X_{i}) \leq \sum_{i} σ_{i}^{2},

$\mbox{Var}(\max_i X_i) \leq \sum_i \sigma_i^2 \enspace,$ ancak bu sınır çok gevşek görünüyor. Sayısal bir test,

B = max_{i} σ_{i}^{2}

$B = \max_i \sigma_i^2$ bir olasılık olabileceğini gösteriyor, ancak bunu kanıtlayamadım. Herhangi bir yardım takdir.

variance bounds maximum

— Peter
kaynak

(

X_{i}

$X_i$ bağımsız olduğunu varsaymak ister misiniz ?) Tahmin, akla yatkın ama yanlış gibi görünüyor. Örneğin,

X_{i}

$X_i$ CDF

1 - x^{1 - s}

$1-x^{1-s}$ ,

1 \leq x \leq \infty

$1\le x\le \infty$ ,

ile

olduğu bazı denemeler yapın

s > 3

$s\gt 3$ . Ortak varyanslarına göre maksimumlarının varyansı,

M

$M$ büyüdükçe sınırsız olarak artar.

— whuber

@whuber Teşekkürler, bu neden bu varsayımı kanıtlayamadığımı açıklıyor :) bağımsız olduğu durumla gerçekten ilgileniyorum . Sadece açıklığa kavuşturmak için, çoğunlukla sadece ilk iki anı kullanan genel sınırlarla ilgileniyorum. Ortak varyanstan daha keskin genel sınırların olup olmadığından emin değilim.

X_{i}

$X_i$

— Peter

Toplam tutarınızın (doğru olduğunu varsayarak - kanıtın bir taslağını görmek güzel olurdu) sıkı olduğunu belirtmeliyim. Örneğin, aralığında aşmayan varyasyonlar desteklensin ve üzerinde desteklensin . Sonra , varyans , ancak eşitsizlik küçülterek istediğiniz kadar sıkılabilir .

X_{2}, \dots, X_{M}

$X_2,\ldots,X_M$

[- \infty, a]

$[-\infty, a]$

ε^{2}

$\varepsilon^2$

X_{1}

$X_1$

[a, \infty]

$[a,\infty]$

max_{i} X_{i} = X_{1}

$\max_i{X_i}=X_1$

σ_{1}^{2} \leq σ_{1}^{2} + (M - 1) ε^{2}

$\sigma_1^2\le\sigma_1^2+(M-1)\varepsilon^2$

ε^{2}

$\varepsilon^2$

— whuber

İid verileri için, aşırı değer teorisi, asgari dağılımların farklı sınıflarını veren orijinal dağılımların kuyrukları üzerindeki belirli koşullar ile, örnek maksimumunun birleştiği dağılım sınıflarını sağlar. Bu yüzden sadece iki anı temel alarak iyi bir sınır oluşturabileceğinizden şüpheliyim, ancak teoriye sadece teğetsel olarak aşinayım.

— StasK

Yanıtlar:

Herhangi bir rasgele değişken , en iyi genel sınır orijinal soruda belirtildiği gibi . İşte bir taslak çizim: X, Y IID ise . Muhtemelen bağımlı değişkenlerin bir vektör verilen , izin aynı ekleme dağılımına sahip olan bağımsız bir vektör olabilir. Herhangi bir , sendika tarafından , ve bu entegre gelen ile verimlerle talep eşitsizliği. $n$ $X_i$ $\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(\max X_i) \le \sum_i \Var(X_i)$ $E[(X-Y)^2] =2\Var(X)$ $(X_1,\ldots ,X_n)$ $(Y_1,\ldots ,Y_n)$ $r>0$ $P[ |\max_i X_i-\max_i Y_i|^2 >r] \le \sum_i P[ | X_i-Y_i|^2 >r]$ $dr$ $0$ $\infty$

Eğer olasılık etkinlikleri IID göstergeleri , o olasılık bir olayın bir göstergesidir . Tespit ve izin sıfır eğilimindedir, bundan elde ve . $X_i$ $\epsilon$ $\max X_i$ $n\epsilon+O(n^2 \epsilon^2)$ $n$ $\epsilon$ $\Var(X_i)=\epsilon-\epsilon^2$ $\Var(\max_i X_i)= n\epsilon +O(n^2\epsilon^2)$

— Yuval Peres
kaynak

MathOverflow ile ilgili bir soru bu soru ile ilgilidir.

IID rastgele değişkenler için, en yüksek inci bir denir sıra istatistiği . $k$

IID Bernoulli rastgele değişkenleri için bile, medyan dışında herhangi bir sıra istatistiğinin varyansı, popülasyonun varyansından daha büyük olabilir. Örneğin, olan olasılık ile ve olasılık ile ve , daha sonra en fazla olasılıkla nüfusun varyans yani, varyans iken maksimum değeri yaklaşık . $X_i$ $1$ $1/10$ $0$ $9/10$ $M=10$ $1$ $\approx 1- 1/e$ $0.09$ $0.23$

İşte sipariş istatistiklerinin varyansları hakkında iki makale:

Yang, H. (1982) "Ortanca ve diğer bazı sipariş istatistiklerinin varyansları hakkında." Boğa. Öğr. Matematik. Acad. Sinica, 10 (2) s. 197-204

Papadatos, N. (1995) "Emir istatistiklerinde maksimum varyans." Ann. Öğr. Devletçi. Math., 47 (1) s. 185-193

İkinci makaledeki maksimum varyansın üst sınırının olduğuna inanıyorum . Eşitliğin meydana gelemeyeceğini, ancak IID Bernoulli rastgele değişkenleri için daha düşük bir değerin ortaya çıkabileceğini belirtiyorlar. $M\sigma^2$

— Douglas Zare
kaynak