“Tarafsızlık” ne anlama geliyor?

21

"Varyans önyargılı bir tahmincidir" demek ne demek?
Önyargılı bir tahmini basit bir formülle tarafsız bir tahmine dönüştürmek ne anlama gelir? Bu dönüşüm tam olarak ne yapar?
Ayrıca, bu dönüşümün pratik kullanımı nedir? Belirli puanları kullanırken bu puanları dönüştürür müsünüz?

theory unbiased-estimator descriptive-statistics

— upabove
kaynak

22

Burada her şeyi bulabilirsiniz . Ancak, işte kısa bir cevap.

Let ve ortalama ve ilgi varyans olabilir; büyüklüğü örneğine dayanarak değerini tahmin etmek istiyorsanız . $\mu$ $\sigma^2$ $\sigma^2$ $n$

Şimdi, şu tahmin ediciyi kullandığınızı söyleyelim:

$S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_{i} - \bar{X})^2$ ,

burada , tahmincisidir . $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ $\mu$

olduğunu görmek çok zor değil (dipnota bakınız) . $E[S^2] = \frac{n-1}{n}\sigma^2$

Yana , tahmin eğimli olduğu söylenir. $E[S^2] \neq \sigma^2$ $S^2$

Ancak, olduğunu gözleyin . Bu nedenle , nin yansız bir tahmincisidir . $E[\frac{n}{n-1} S^2] = \sigma^2$ $\tilde{S}^2 = \frac{n}{n-1} S^2$ $\sigma^2$

dipnot

yazarak başlayın ve ardından ürünü genişletin ... $(X_i - \bar{X})^2 = ((X_i - \mu) + (\mu - \bar{X}))^2$

Yorumlarınızın hesabını düzenleyin

Beklenen değeri does not vermek (ve dolayısıyla bastırılmaktadır), ancak dönüştürmek üzerinden bu döner içine beklenti yapar vermek böylece . $S^2$ $\sigma^2$ $S^2$ $S^2$ $\tilde{S}^2$ $\sigma^2$

Uygulamada, bir çoğu ile çalışmak tercih yerine . Ancak, yeterince büyükse, olduğundan bu büyük bir sorun değildir . $\tilde{S}^2$ $S^2$ $n$ $\frac{n}{n-1} \approx 1$

Not: Tarafsızlığın, tahmin ettiğiniz gibi değil, tahmin edeceğiniz bir tahminci olduğuna dikkat edin.

— ocram
kaynak

1

Teorik olarak daha fazlasını kastediyorum. Formülü herhangi bir kitapta bulabilirim, ancak kelimelerdeki açıklamalara daha çok ilgi duyuyorum. Sigmanın beklentisi tarafsızdır ve tahminleri beklentiye dönüştürebilir miyiz?

— 47'de

ayrıca bunun pratik yönleri hakkında soruyorum, bu dönüşümü analiz yaparken kullanıyor musunuz?

— 47'de

@ ocram nedir? Örneklem büyüklüğü mü? Veya alınan örnek sayısı? Ya da her ikisi de?

n

$n$

— Aralık'ta

@quirik: Varsayım, tek bir örnek alındığı ve bu örneğin n

— ocram

@ocram Daha sonra bir örneğimiz varsa beklenen varyans değerini nasıl hesaplayabiliriz? Neyi kaçırıyorum?

— Aralık'ta

6

Bu cevap ocramın cevabını netleştirir. için anahtar neden (ve genel yanlış anlaşılma) , verilerden tahmin edilen değerini kullanmasıdır. $E[S^2] \neq \sigma^2$ $S^2$ $\bar{X}$

Eğer türetme ile çalışırsanız, bu tahmininin varyansının varyansının , tam olarak ek terimini verdiğini göreceksiniz. $E[(\bar{X}-\mu)^2]$ $-\frac{\sigma^2}{n}$

— Sert
kaynak

5

@Ocram'ın verdiği açıklama harika. O kelime söylediklerini açıklamak için: şu hesaplamayı eğer sadece bölerek (sezgisel olan), bizim tahmin gerçeğinden daha düşük olur. Telafi etmek için bölüyoruz . $s^2$ $n$ $s^2$ $n-1$

İşte bir alıştırma: 2 sonuçla ayrık bir olasılık oluşturun, Diyelim ki ve . Bu dağıtım için ve bulun . olduğunda, örnek ortalaması için ve hesaplayın . Tüm olası örneklerini hesapla . Bu örneklerde hesaplayın ve uygun frekansları uygulayın. $P(2) = .25$ $P(6) = .75$ $\mu$ $\sigma$ $\mu$ $\sigma$ $n = 3$ $n =3$ $s^2$

Bazen ellerini kirletmelisin.

— Adem
kaynak

yardımın için teşekkürler. Birkaç soru: Egzersizinizde: ne tür bir dağıtımdan bahsediyorsunuz Binomial? Kesikli bir olasılık yapmak derken ne demek istiyorsun? 2 ve 6'nın tüm olasılıklarını farklı örneklem büyüklüklerinde hesaplamak mı demek istiyorsun?

— 11'den itibaren

1

Genelde payda "n" kullanmak, tahmin etmek istediğimiz nüfus varyansından daha küçük değerler verir. Bu, özellikle küçük numuneler alınırsa olur. İstatistik dilinde, örneklem varyansının popülasyon varyansının “önyargılı” bir tahminini sunduğunu ve “tarafsız” yapılması gerektiğini söylüyoruz.

Bu video, sorunuzun her bölümünü yeterli şekilde yanıtlayacaktır.

https://www.youtube.com/watch?v=xslIhnquFoE

— Sahil Chaudhary
kaynak