Kuantil regresyon “nasıl çalışır”?

Kuantil regresyonun sezgisel ve erişilebilir bir açıklamasını almayı umuyorum.

Diyelim ki basit bir sonuç veri kümesine $Y$ve öngörücülerine .$X_1, X_2$

Örneğin, .25, .5, bir regresyon çalıştırırsam ve .$\beta_{0,.25},\beta_{1,.25}...\beta_{2,.75}$

İstiyorsunuz değerleri sadece sipariş tarafından bulunan değerleri ve belirli bir dağılım / yakınındaki olan örneklere dayanarak bir lineer regresyon analizi?$\beta$$y$

Veya numunelerin tümü , nicelikten uzaklaştıkça azalan ağırlıklarla tahminlerine katkıda bulunur mu?$\beta$

Yoksa tamamen farklı bir şey mi? Henüz erişilebilir bir açıklama bulamadım.

Ben tavsiye Koenker & Hallock (2001, Ekonomik Perspektifleri Dergisi) ve Koenker en Eponymous ders kitabı .

1. Başlangıç ​​noktası, bir veri kümesinin ortancasının mutlak hataların toplamını en aza indirdiği gözlemidir . Yani,% 50 nicelik belirli bir optimizasyon problemine bir çözümdür (mutlak hataların toplamını minimize eden değeri bulmak için).
2. Bu kaynaktan, herhangi bir bulmak kolaydır $\tau$ yani asimetrik bir miktar en aza indirmek için, -quantile belirli bir azaltma sorununa çözüm ağırlıklı bağlıdır ağırlıkları, mutlak hatalar $\tau$ .
3. Son olarak, regresyona adım atmak için, bu minimizasyon probleminin çözümünü yordayıcı değişkenlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak modelliyoruz; bu nedenle, şimdi sorun tek bir değer değil, bir dizi regresyon parametresi bulmaktan biri.

Yani sezgi oldukça doğrudur: numunelerin hepsi katkıda persantil bağlı asimetrik ağırlıklarla, tahminlere τ biz amaçlıyoruz.$\beta$$\tau$

Kantil regresyonun temel fikri, analistin sadece veri anlamına gelmek yerine verilerin dağıtımı ile ilgilenmesinden kaynaklanmaktadır. Hadi ortalama ile başlayalım.

Ortalama regresyon , veri ortalamasına şeklinde bir çizgiye uyar . Başka bir deyişle, E ( Y | X = x ) = x β . Bu çizgiyi tahmin etmek için genel bir yaklaşım en az kare yöntemi kullanmaktır, arg min β ( y - x β ) ′ ( y - X β ) .$y=X\beta$$E(Y|X=x)=x\beta$$\arg\min_\beta (y-x\beta)'(y-X\beta)$

Öte yandan, medyan regresyon, verilerin yarısının yanlarda olmasını bekleyen bir çizgi arar. Bu durumda hedef fonksiyon nerede | . | ilk norm.$\arg\min_\beta |y-X\beta|$$|.|$

Medyan fikrini kuantileştirme, kuantil regresyonda sonuçlanır. Bunun arkasındaki fikir, verinin yüzde 'sinin ötesinde olduğu bir çizgi bulmak .$\alpha$

Burada küçük bir hata yaptınız, Q-regresyonu bir miktar veri bulmak gibi değil, o alt kümeye (hatta daha zorlu sınırlara bile) uyacak şekilde bir çizgiye uyuyor.

Q-regresyonu, verileri bir q grubuna kuantil ve diğerlerine ayıran bir çizgi arar . Hedef fonksiyonu, S-gerileme söyleyerek kontrol fonksiyonu olan β a = arg dakika β { a | y - X β | I ( y > X β ) + ( 1 - α ) | y - X β | I ( y < X β ) }$\alpha$

Gördüğünüz gibi bu akıllı hedef işlevi, nicel ifadeyi bir optimizasyon problemine çevirmekten başka bir şey değildir.

Üstelik, gördüğünüz gibi, Q-regresyonu belirli bir miktar ( ) için tanımlanmıştır ve daha sonra tüm miktarları bulmak için genişletilebilir. Başka bir deyişle, Q-regresyonu yanıtın (koşullu) dağılımını çoğaltabilir.$\beta_\alpha$