Bir urnun olasılık dağılımı, ortalama olarak değiştirilmeden çekilirken değişir mi?

N farklı top rengi içeren bir urnum olduğunu ve her farklı rengin farklı sayıda görünebileceğini varsayalım (10 kırmızı top varsa, 10 mavi top olması da gerekmez). Çizimden önce urnun tam içeriğini bilersek, topun her rengini çizme olasılığını söyleyen ayrı bir olasılık dağılımı oluşturabiliriz. Merak ettiğim şey , ortalama olarak urn'dan değiştirilmeden k topları çizildikten sonra dağılımın nasıl değiştiğidir.. Semadan çekilirken, neyin çıkarıldığı bilgisiyle dağılımı güncelleyebileceğimizi anlıyorum, ancak bilmek istediğim, k toplarını çıkardıktan sonra dağılımın şeklinin ne olmasını beklediğimizdir. Dağıtım ortalama olarak değişiyor mu yoksa aynı mı kalıyor? Aynı kalmazsa, k çekimleri yaptıktan sonra yeni dağılımın ortalamaya benzemesini beklediğimiz şey için bir formül yazabilir miyiz?

1. "Doğrudan hesaplama": urn içinde renk toplar olsun . Şimdi beyaz üzerine belirli bir renk, ikinci çizim üzerine çizim olasılığına odaklanalım . Beyaz topların sayısı . beraberlikte elde edilen topun rengi olsun .$n$$m$$n_w$$X_i$$i$

   $$\begin{eqnarray} P(X_2=W)&=&P(X_2=W|X_1=W)P(X_1=W)+P(X_2=W|X_1=\overline{W})P(X_1=\overline{W})\\ &=&\frac{n_w-1}{n-1}\frac{n_w}{n}+\frac{n_w}{n-1}\frac{n-n_w}{n}\\ &=&\frac{n_w(n-n_w+n_w-1)}{n(n-1)}\\ &=&\frac{n_w}{n}\\ &=&P(X_1=W) \end{eqnarray}$$

   Tabii ki aynı argüman ikinci çizimdeki herhangi bir renk için de geçerlidir. Daha sonraki çekilişlere bakarken aynı türden argümanları tekrar tekrar uygulayabiliriz.

   [Tabii ki daha doğrudan bir hesaplama da yapılabilir. İlk çekimlerini beyaz toplar ve beyaz olmayan toplardan (hipergeometrik dağılım tarafından verilen olasılıkla) oluşan olarak düşünün ve yukarıdaki basit olana karşılık gelen hesaplamayı adımındaki çekiş için yapın ; benzer bir sadeleştirme ve iptal olur, ancak yürütmek özellikle aydınlatıcı değildir.]$k$$i$$k-i$$k+1$

2. Daha kısa bir argüman: topları rastgele sayılarıyla etiketlemeyi ve ardından bunları etiketlenmiş sırada çizmeyi düşünün . Şimdi soru "Verilen bir , etiketin beyaz bir topa yerleştirilme olasılığı, etiket beyaz bir topa yerleştirilme olasılığı ile aynı mı?"$1,2,...,n$$k$$1$

   Şimdi cevabın etiketlerin simetrisi ile "evet" olması gerektiğini görüyoruz. Benzer şekilde, top renklerinin simetrisi ile "beyaz" dediğimiz önemli değildir, bu nedenle ve etiket aynı olasılığa sahip olduğu argümanı herhangi bir renk için geçerlidir. Bu nedenle, çekilişindeki dağılım , önceki çekilişlerden ek bilgi almadığımız sürece (yani, daha önce çizilen toplar görülmediği sürece) ilk çekiliş ile aynıdır.$k$$1$$k$

Dağılımın değişmeden kalmasının (en az bir top kalması şartıyla) tam olarak açık olmasının tek nedeni , çok fazla bilgi olmasıdır. Dikkat dağıtan malzemeyi çıkaralım.

Bir an için her topun rengini göz ardı edin. Bir topa odaklanın. üstlenmek$k$ toplar rastgele kaldırılmak üzere (ve gözlenmemek üzere) ve sonra $k+1$st topu çekilecek ve gözlemlenecektir. Seçimin hangi sırada gerçekleştiğini farketmez , böylece ilk topun çekildiğini (ve sonra başka bir topu kaldırarak)$k$Eğer ısrar ederseniz topları). Dağıtım açıkça değişmedi, çünkü diğeri kaldırılmadan etkilenmeyecek$k$ topları.

Bu argüman - mükemmel bir şekilde geçerli olmasına rağmen - bazı insanları huzursuz hissettirebilir. Aşağıdaki analiz daha titiz olarak kabul edilebilir, çünkü seçim sırasını görmezden gelmemizi istemez.

Topunuza odaklanmaya devam edin. Bazı olasılıkları olacak$p_k$ olarak seçilme $k+1$st topu. olmasına rağmen$p_k$hesaplaması kolaydır, değerini bilmemize gerek yoktur: önemli olan her top için aynı değer olması gerektiğidir (çünkü tüm toplar eşdeğerdir) ve sıfırdan farklıdır. Ancak sıfır olsaydı, hiçbir topun seçilme olasılığı olmazdı: en az bir top kaldığı sürece,$p_{k}\ne 0$.

Renklere tekrar dikkat edin. Tanım olarak, belirli bir rengin$C$ seçilecek (sonra $k$ topları rastgele kaldırılır) tüm orijinal şansının toplamıdır $C$renkli topları tüm orijinal topları şansı toplamına bölünür. Başlangıçta$k_C$ renk topları $C$ ve $n$ toplam top, bu değer

Ne zaman bu bağlı değildir , QED .$k\lt n$$k$

Tek bir top çiziminin dağılımı - değiştirilmeden topları çekildikten sonra - bu kategorik dağılımlar üzerinden dağılım verildiğinde kategorik dağılım .$k$$E(D_k)$$D_k$

Sanırım nin sabit olup olmadığını soruyorsunuz .$E(D_k)$

Sanirim oyle. Sonunda tüm topları çizdiğinizi varsayalım. Topların tüm permütasyonları eşit derecede olasıdır. Başlangıçta çizim olasılığı . Seçimlerinizi eşit derecede olası bir permütasyona göre yeniden düzenleyebilirsiniz. Bu topun simetri nedeniyle eşit olması gereken beklentisi var . Tümevarım ile eşittir.$E(D_0)$$E(D_1)$$E(D_0)$$E(D_i)$

"Beklenen dağılım" değişmez. Kişi bir martingale argümanı kullanabilir! Bu cevaba daha sonra ekleyeceğim (şimdi seyahat ediyorum).

Önceki çekilişlere (daha sonraki çekilişler için) bağlı olan dağıtım, yalnızca çekilişleri gözlemlediğinizde değişir. Topu sıkıca kapalı bir el ile urndan çekerseniz ve ardından rengini gözlemlemeden atarsanız (tiyatroyu etkili bir şekilde sınıf gösterisi olarak kullandım), dağıtım değişmez. Bu gerçeğin bir açıklaması vardır: Olasılık bilgi ile ilgilidir, Olasılık bir bilgi kavramdır.

Böylece olasılıklar yalnızca yeni bilgi (koşullu olasılıklar) aldığınızda değişir. Topu çizmek ve gözlemlemeden atmak size yeni bir bilgi vermez, bu nedenle üzerinde koşullanacak yeni bir şey yoktur. Böylece, gerçek bilgi kümesini koşullandırdığınızda, bu değişmemiştir, bu nedenle koşullu dağıtım değişemez.

 EDIT

Şimdi bu cevaba daha fazla ayrıntı vermeyeceğim, sadece bir referans ekleyeceğim: Hosam M. Mahmoud: "Pólya Urn Modelleri" (Chapman & Hall), bu sorudaki gibi urn modellerini ele alıyor ve ayrıca çok daha genelleştirilmiş urn Şemaları da sınır sonuçları elde etmek için martingale yöntemleri kullanarak. Ancak bu yazıda soru için martingale yöntemlerine gerek yoktur.