Taylor serisi (tüm) fonksiyonların beklentilerine yaklaşımı ne zaman birleşiyor?

Bazı tek değişkenli rastgele değişken ve tüm fonksiyon için formundan bir beklenti alın (yani, yakınsama aralığı tüm gerçek çizgi) $E(f(X))$ $X$ $f(\cdot)$

$X$ $\mu \equiv E(x)$

E (f (x)) = E (f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots)

$E(f(x)) = E\left(f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} +\ldots\right)$

= f (μ) + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$=f(\mu) + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$

E_{N} (f (x)) = f (μ) + \sum_{n = 2}^{N} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$E_N(f(x)) = f(\mu) + \sum_{n=2}^{N} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$

Benim sorum: Rastgele değişken üzerinde hangi koşullar altında (ve üzerinde ek bir şey varsa $f(\cdot)$ ), terimler ekledikçe beklentinin yaklaşması yakınsama yapar (yani $\lim\limits_{N\to\infty}E_N(f(x)) = E(f(x))$ ).

Benim durumum için yakınsama görünmediği için (bir poisson rastgele değişkeni ve $f(x) = x^{\alpha}$ ), bu koşullar başarısız olduğunda tamsayı anlarıyla yaklaşık beklentileri bulmak için başka hileler var mı?

expected-value approximation

— jlperla
kaynak

buraya bakın: stats.stackexchange.com/questions/70490/…

— Jonathan

@Jonathan Teşekkür ederim. Düzenlemelerimi şimdi daha net hale geldiğini görün. Çok yararlı, ama ben oldukça çatlamak olamazdı. Bundan, bunun çalışması için yeterli bir koşulun rastgele değişkenimin güçlü bir şekilde konsantre olduğu anlaşılıyor mu? Bu notlarla karşılaştırmak için Hoeffding Eşitsizliği vb.'nin tam olarak nasıl kullanılacağı konusunda sorun yaşıyorum.

— jlperla

Ne demek "rastgele bir değişken ve "? Bu bir veya iki durum mu ve pdf nedir?

f (x) = x^{α}

$f(x)=x^α$

— Carl

@Carl Bu birkaç yıl önce, ama hatırlarsam, değişken en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution'dan PDF ile bazı için . Bu beklentiyi üstlendiğim işlevdi. ie

x \sim P o i s s o n (λ)

$x \sim Poisson(\lambda)$

λ

$\lambda$

f (x)

$f(x)$

E (f (x))

$E(f(x))$

— jlperla

Ne sorduğundan emin değilim. Nasıl yüksek anlar bu konuda ait kökeni hakkında Poisson dağılımının içinde touchard polinomları vardır : burada {parantezler} ikinci türdeki Stirling numaralarını gösterir?

m_{k}

$m_k$

λ

$\lambda$

m_{k} = \sum_{i = 0}^{k} λ^{i} {\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}},

$m_k = \sum_{i=0}^k \lambda^i \left\{\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}\right\},$

— Carl

Yanıtlar:

Bu da varsayımı ile , gerçek analitik olan Neredeyse kesin olarak (aslında) yakınsar . $f$

y_{n} = f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots + f^{(n)} (μ) \frac{(x - μ)^{n}}{n!}

$y_n = f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} + \ldots + f^{(n)}(\mu)\frac{(x - \mu)^n}{n!}$

f (x)

$f(x)$

Standart bir durum altında yakınsaması beklenti yakınsama eder, yani olup bu bazı olarak bu şekilde . (Hakim Yakınsama Teoremi.)

E [f (x)] = E [lim_{n \to \infty} y_{n}] = lim_{n \to \infty} E [y_{n}],

$E[f(x)] = E [ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n] = \lim_{n \rightarrow \infty} E [y_n],$

| y_{n} | \leq y

$|y_n| \leq y$

y

$y$

E [y] < \infty

$E[y] < \infty$

serileri kesinlikle şu şekilde , bu koşul geçerli olur, yani ve

y = \sum_{n \geq 0} | f^{(n)} (μ) | \frac{| x - μ |^{n}}{n!} < \infty a . s .

$y = \sum_{n \geq 0} |f^{(n)}(\mu)| \, \frac{|x - \mu|^n}{n!} < \infty \;\; a.s.$

E [y] < \infty .

$E[y] < \infty.$

Poisson rasgele değişkeni ve , örneğiniz, mutlak sınır ölçütünün yukarıdaki bütünleştirilebilirliğinin genel olarak mümkün olan en zayıf olduğunu gösterir. $f(x)=x^{\alpha}$ $\alpha \notin\mathbb{Z}_+$

— Michael
kaynak

-1

F (x) fonksiyonu kuvvet serileri genişlemesine izin verirse, yani tüm türevler varsa, yakınsama yakınlaşacaktır. Belirli bir eşik ve üzerindeki türevlerin sıfıra eşit olması durumunda da tam olarak elde edilecektir. Populis [3-4] ve Stark ve Woods [4] 'e başvurabilirsiniz.

— E. Mehrban
kaynak

"Belirli bir eşik ve üzerindeki türevlerin sıfıra eşit olması da tamamen sağlanacaktır." Türevler varsa ve sıfıra eşitse, bu polinom söylemenin başka bir yolu değil mi?

— Birikim

Bu doğru değil. Kuvvet serisinin genişlemesi noktasında "tüm türevler mevcut" olduğunda, kuvvet serisinin hiçbir yerde birleşmesi gerekmez . (Standart örnek, nin Maclaurin serisidir ) Bir diğeri, seri bir noktada yakınsa bile, her yerde birleşmesi gerekmemesidir. Basit bir örnek, Maclaurin serisidirBu meydana geldiğinde, yakınsama rastgele değişkenin ayrıntılarına bağlıdır. Örneğin, herhangi bir Student t dağılımına sahip olduğunu veSonunda, bile yok!

e^{- 1 / x^{2}} .

$e^{-1/x^2}.$

1 / (1 - x) .

$1/(1-x).$

X

$X$

1 / (1 - X) = 1 + X + X^{2} + \dots + X^{n} + \dots .

$1/(1-X)=1+X+X^2+\cdots+X^n+\cdots.$

E (X^{n})

$E(X^n)$

— whuber