Brownian Köprüsü kullanarak Brownian Gezi Simülasyonu?

11

(Her zaman pozitif olacak koşullanmış bir Brown hareketi sırasında bir Brown tur işlemini taklit etmek istiyorum için ile ). Bir Brownian gezi süreci her zaman pozitif olması koşullu bir Brownian köprüsü olduğundan, Brownian köprüsü kullanarak bir Brownian gezisinin hareketini simüle etmeyi umuyordum. $0 \lt t \lt 1$ $0$ $t=1$

R'de, Brownian köprü sürecini simüle etmek için 'e1017' paketini kullanıyorum. Brownian gezisi oluşturmak için bu Brownian köprü sürecini nasıl kullanabilirim?

r gaussian-process brownian

— RPZ
kaynak

4

Brownian köprünün mutlak değerini simüle etmek yeterli değil mi?

— Alex

1

@AlexR. [dolgu] yok

— P.Windridge

1

Bununla birlikte, pozitif olması için şartlandırılmış bir Brownian hareketinin BM'yi Pitman'dan kaynaklanan maksimum koşulu etrafında yansıtarak gerçekleştirilebileceğini hatırlatmaya değer. Pozitif kalmak için şartlandırılmış bir BM'yi gerçekleştirmenin başka bir yolu, 3d BM'nin mutlak değeridir .

— P.Windridge

1

@AlexR. - Basit rastgele yürüyüşler için bile, olumlu koşullandırma sonuçlarının sadece mutlak değeri almak için farklı davranışlar oluşturduğunu göstermek için aşağıdaki cevabımı güncelledim. Brown köprüler için özel olarak, sezgisel küçük için , davranışı gibidir (çünkü ) ve BM tatmin tekrarlanan logaritmanın kanunu ( "böylece " yeterince küçük için alakasız Böylece, küçük için yansıyan bir BM olumlu kalmak için için oldukça farklı bir davranış vardır ...

t

$t$

B B_{t}

$BB_t$

| W_{t}

$|W_t$

B B_{t} = W_{t} - t W_{1}

$BB_t = W_t - tW_1$

O_{p} (t)

$O_p(t)$

t

$t$

| B B_{t} |

$|BB_t|$

t

$t$

W_{t}

$W_t$

— P.Windridge

7

Vervaat tarafından aşağıdaki yapı kullanılarak bir köprüden bir Brownian gezisi yapılabilir: https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aop/1176995155

@ Whuber'ın BB kodunu kullanarak R'de hızlı bir yaklaşım,

n <- 1001
times <- seq(0, 1, length.out=n)

set.seed(17)
dW <- rnorm(n)/sqrt(n)
W <- cumsum(dW)

# plot(times,W,type="l") # original BM

B <- W - times * W[n]   # The Brownian bridge from (0,0) to (1,target)

# plot(times,B,type="l")

# Vervaat construction
Bmin <- min(B)
tmin <- which(B == Bmin)
newtimes <- (times[tmin] + times) %% 1
J<-floor(newtimes * n)
BE <- B[J] - Bmin
plot(1:length(BE)/n,BE,type="l")

İşte başka bir çizim (set.seed'den (21)). Bir gezi ile ilgili önemli bir gözlem, şartlanmanın aslında 0'dan bir "itme" olarak tezahür etmesidir ve 'in iç kısmına bir gezinin yaklaştığını görmeniz olası değildir . $0$ $(0,1)$

Kenara: Brownian köprünün mutlak değerinin ve gezi, pozitif olması koşuluyla dağılımı aynı değildir. Sezgisel olarak, gezi kökeninden itilir, çünkü kökenine çok yakın olan Brownian yollarının kısa bir süre sonra negatif olması muhtemeldir ve bu nedenle koşullandırma tarafından cezalandırılır. $(|BB_t|)_{0 \le t \le 1}$ $(BB_t)_{0 \le t \le 1}$

Bu, basit bir rastgele yürüyüş köprüsü ve BM'nin doğal bir ayrık analogu olan adımda gezi ile gösterilebilir (ve adımlar büyüdükçe ve yeniden ölçeklendirdikçe BM'ye dönüşür). $6$

Gerçekten de, başlayarak simetrik bir SRW alın . İlk olarak, "köprü" koşullandırmasını düşünelim ve sadece mutlak değeri alırsak ne olacağını görelim. Tüm basit yolları düşünün uzunluğunun başlar ve sonunu . Bu yolların sayısı . Bunlardan ; bunlar . Başka bir deyişle, SRW "köprümüzün" ( ile bitmesi koşuluyla) mutlak değerinin adımda 0 değerine sahip olma olasılığı . $0$ $s$ $6$ $0$ ${6 \choose 3} = 20$ $2\times {4 \choose 2} = 12$ $|s_2| = 0$ $0$ $2$ $12/20 = 0.6$

İkincisi, "gezi" koşullarını ele alacağız. Negatif olmayan basit yollarının sayısı uzunluğunun uç o Katalanca sayıdır . Bu yollardan tam olarak tanesi sahiptir . Bu nedenle, SRW "gezi" (pozitif kalması ve bitmesi koşuluyla ) adım 0 değerine sahip olma olasılığı . $s$ $6 = 2*3$ $0$ $C_{m=3} = {2m\choose m}/(m+1) = 5$ $2$ $s_2 = 0$ $0$ $2$ $2/5 = 0.4 < 0.6$

Eğer hala SRW köprü ve uzunluğu arasında geziler için olasılığını düşünebiliriz limiti bu fenomen hakimse şüphe adım at 0 isabet . $4n$ $2n$

SRW gezisi için: wikipedia'dan aysmptotics kullanarak https://en.wikipedia.org/wiki / Katalan_sayısı . Yani nihayetinde .

P (S_{2 n} = 0 | S_{j} \geq 0, j \leq 4 n, S_{4 n} = 0) = C_{n}^{2} / C_{2 n} \sim (4^{2 n} / π n^{3}) / (4^{2 n} / \sqrt{(2 n)^{3} π})

$\mathbb{P}(S_{2n} = 0 | S_{j} \ge 0, j \le 4n, S_{4n} = 0) = C_n^2 / C_{2n} \sim (4^{2n}/\pi n^3)/(4^{2n} / \sqrt{(2n)^3 \pi})$

c n^{- 3 / 2}

$cn^{-3/2}$

Abs için (SRW köprüsü): wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient'dan asimptotikler kullanarak . Bu .

P (| S_{2 n} | = 0 | S_{4 n} = 0) = {(\binom{2 n}{n})}^{2} / (\binom{4 n}{2 n}) \sim (4^{n} / \sqrt{π n})^{2} / (4^{2 n} / \sqrt{2 n π})

$\mathbb{P}(|S_{2n}| = 0 | S_{4n} = 0) = {2n \choose n}^2 / {4n \choose 2n} \sim (4^n/\sqrt{\pi n})^2/(4^{2n} / \sqrt{2n\pi})$

c n^{- 1 / 2}

$cn^{-1/2}$

Başka bir deyişle, SRW köprüsünü ortada pozitif olarak şartlandırılmış görmek için asimptotik olasılık, köprünün mutlak değerinden çok daha küçüktür. $0$

Burada Brownian köprüsü yerine 3D Bessel sürecine dayanan alternatif bir yapı var. Https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ejp/1457125524'de açıklanan gerçekleri kullanıyorum

Genel Bakış- 1) 3d Bessel sürecini simüle edin. Bu, pozitif olması için şartlandırılmış bir BM gibidir. 2) Bir Bessel 3 köprüsü (kağıtta Denklem (2)) elde etmek için uygun bir zaman aralığı yeniden ölçeklendirmesi uygulayın. 3) Bir Bessel 3 köprüsünün aslında bir Brownian gezisiyle aynı dağılıma sahip olduğu gerçeğini (gazetede Teorem 1'den hemen sonra belirtilmiştir) kullanın.

Küçük bir dezavantaj, alan / zaman ölçeklendirmesinin sonunda devreye girmesi için Bessel işlemini oldukça uzun bir süre (aşağıda T = 100) nispeten ince bir ızgarada çalıştırmanız gerektiğidir.

## Another construction of Brownian excursion via Bessel processes
set.seed(27092017)
## The Bessel process must run for a long time in order to construct a bridge
T <- 100
n <- 100001
d<-3 # dimension for Bessel process
dW <- matrix(ncol = n, nrow = d, data=rnorm(d*n)/sqrt(n/T))
dW[,1] <- 0
W <- apply(dW, 1, cumsum)
BessD <- apply(W,1,function(x) {sqrt(sum(x^2))})

times <- seq(0, T, length.out=n)
# plot(times,BessD, type="l") # Bessel D process


times01 <- times[times < 1]
rescaletimes <- pmin(times01/(1-times01),T)
# plot(times01,rescaletimes,type="l") # compare rescaled times

# create new time index
rescaletimeindex <- sapply(rescaletimes,function(x){max(which(times<=x))} )

BE <- (1 - times01) * BessD[rescaletimeindex]
plot(times01,BE, type="l")

İşte çıktı:

— P.Windridge
kaynak

5

Prensip Yansıma iddia

Wiener işlem yolu ise bir değer ulaşana süre içinde süreden sonra, daha sonra takip eden bir yol değeri yaklaşık sonraki yolun yansıması ile aynı dağılımına sahip $f(t)$ $f(s) = a$ $t = s$ $s$ $a$

Wikipedia , 26.09.2017 tarihinde erişildi.

Buna göre bir Brown köprüsünü simüle edebilir ve sadece mutlak değerini alarak değeri hakkında yansıtabiliriz . Brown köprü başlangıç noktasından eğilimi çıkarılarak simüle edilir ucuna Brown hareketi gelen kendisi. (Herhangi bir genel kayıp olmadan yaptığımız birimlerinde zaman ölçebilir . Bu nedenle, zaman en sadece çıkarma den ). $a=0$ $(0,0)$ $(T,B(T))$ $B$ $T=1$ $t$ $B(T)t$ $B(t)$

Aynı prosedür, sadece zaman belirli bir değere dönen bir Brown hareketi koşullu görüntülemek için tatbik edilebilir (değer köprü) değil, aynı zamanda (zorunlu olarak başlangıç değerini içerir olan iki limit arasında kalmakta ve zamanında ) ve belirtilen bitiş değerine. $T\gt 0$ $0$ $0$ $0$

Bu Brown hareketi, sıfır değeriyle başlar ve biter: bir Brownian Köprüsüdür.

Kırmızı grafik, önceki Brownian köprüsünden geliştirilen bir Brownian gezisidir: tüm değerleri negatif değildir. Mavi grafik, Brownian köprüsü ile her karşılaştığında noktalı çizgiler arasındaki yansıma ile aynı şekilde geliştirilmiştir. Gri grafik orijinal Brown köprüsünü gösterir.

Hesaplamalar basit ve hızlıdır: süreleri küçük aralıklara ayırın, her aralık için bağımsız olarak aynı dağıtılmış Normal artışlar oluşturun, biriktirin, eğilimi çıkarın ve gerekli yansımaları gerçekleştirin.

İşte Rkod. İçinde W, orijinal Brown hareketi, BBrown köprüsüdür ve B2belirtilen iki değer ymin(pozitif olmayan) ve ymax(negatif olmayan ) arasında kısıtlanan gezidir . Modül %%operatörü ve bileşen olarak minimum kullanarak yansıma gerçekleştirme tekniği pminpratik ilgi çekici olabilir.

#
# Brownian bridge in n steps from t=0 to t=1.
#
n <- 1001
times <- seq(0, 1, length.out=n)
target <- 0                        # Constraint at time=1
set.seed(17)
dW <- rnorm(n)
W <- cumsum(dW)
B <- W + times * (target - W[n])   # The Brownian bridge from (0,0) to (1,target)
#
# The constrained excursion.
#
ymax <- max(abs(B))/5              # A nice limit for illustration
ymin <- -ymax * 2                  # Another nice limit
yrange2 <- 2*(ymax - ymin)
B2 <- (B - ymin) %% yrange2
B2 <- pmin(B2, yrange2-B2) + ymin

— whuber
kaynak

lütfen "Brownian gezi" (kırmızı arsa) için kodu paylaşmak olabilir. Gözle bakıldığında, ile bitmek üzere kısıtlanmış bir çeşit yansıyan Brown hareketi gibi görünüyor . Bunun bir geziden oldukça farklı bir dağılımı olduğunu düşünüyorum, kökeninden itme deneyimliyor, yani aydınlanmanız (kırmızı renkte) oldukça atipik görünüyor.

0

$0$

— P.Windridge

@ P.Windridge Üzgünüm; Unuttum: gezi abs(B). Unutmayın, bunun iki kısıtlamaya bağlı bir Brown hareketi olması amaçlanmıştır:target zamanında eşittir ve her yerde negatif değildir.

1

$1$

— whuber

1

Unutmadım :) İnanıyorum söylüyorum için oldukça farklı bir dağılıma sahiptir için şartlandırılmış Olumlu ol (yani bir gezi) :)

(a b s (B B_{t}))_{0 \leq t \leq 1}

$(abs(BB_t))_{0 \le t \le 1}$

(B B_{t})_{0 \leq t \leq 1}

$(BB_t)_{0 \le t \le 1}$

— P.Windridge

4

Dağılımlar farklı, bu yüzden oy üzgünüm.

— P.Windridge

2

Bir reddetme yöntemi kullanabilirsiniz: Brownian köprülerini simüle edin ve pozitif olanları koruyun. İşe yarıyor.

Fakat. Çok sayıda yörünge reddedildiği için çok yavaş. Ve ne kadar büyük "sıklık" belirlerseniz, yörüngeleri bulma olasılığınız o kadar düşük olur.

succeeded <- FALSE
while(!succeeded)
{
  bridge <- rbridge(end = 1, frequency = 500)
  succeeded=all(bridge>=0)
}
plot(bridge)

Olumsuz yörüngeleri de tutarak hızlandırabilirsiniz.

while(!succeeded)
{
  bridge <- rbridge(end = 1, frequency = 500)
  succeeded=all(bridge>=0)||all(bridge<=0)
}
bridge = abs(bridge)
plot(bridge)

— RUser4512
kaynak

2

Bu yöntemle ilgili sorun, daha küçük bir adım boyutu ile simüle ederseniz, bir noktada bir brownian köprünün negatif olma olasılığının yakındaki 1 gitmesidir .

t = 0

$t=0$

— Alex

Gerçekten de, küçük bir feragatname vardı;) "Ve belirlediğiniz daha büyük" frekans ", yörüngeler bulma olasılığınız o kadar düşük." ... Cevabımın sadece yarısından memnunum, ama düşünebileceğim tek şey bu Brownian köprüsü ile başlamak zorunda olduğum hakkında. Daha iyi bir cevap arıyorum (ve bekliyor)!

— RUser4512