Rastgele ve değişkenleri bağımlı mıdır?

Rastgele bir değişkenin bağımlılığı ve rastgele bir değişkenin işlevi hakkında bir şey söyleyebilir miyiz? Örneğin, bağımlı mıdır? $X^2$ $X$

probability random-variable

— Rohit Banga
kaynak

Eğer ve bağımsız, o zaman hemen hemen kesin sabittir. Kendisine, vardır şekilde .

X

$X$

f (X)

$f(X)$

f (X)

$f(X)$

a

$a$

P (f (X) = a) = 1

$\mathbb P(f(X) = a) = 1$

— kardinal

@cardinal -Neden bir cevap vermiyorsun ?

— Karl

@cardinal, John'dan yorumunu detaylandırmasını istedim. Kabul edilen işlevin belirli, deterministik bir işlev olduğunu kabul ettim. Bu süreçte, bunun yerine belirttiğiniz sonuç için bir argüman yazdım. Herhangi bir yorum en açıktır ve takdir edilmektedir.

— NRH

Evet, bağlıdır bilirseniz beri, sonra bildiğiniz . ve sadece değeri bilgisinin dağılımı hakkındaki bilginizi etkilememesi durumunda bağımsızdır .

X^{2}

$X^2$

X

$X$

X

$X$

X^{2}

$X^2$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

— Henry

@iamrohitbanga: Eğer sonra hemen hemen kesin. Yani, bağımsız olan bu çok özel durumda.

X \in {- 1, 1}

$X \in \{-1,1\}$

X^{2} = 1

$X^2 = 1$

X

$X$

X^{2}

$X^2$

— kardinal

Yanıtlar:

İşte @ cardinal'in küçük bir bükülme ile yorumunun bir kanıtı. Eğer ve bağımsız sonra alma denklemi verir var iki çözelti 0 ve 1. Böylece tüm için . Genel olarak, daha fazlasını söylemek mümkün değildir. Eğer ve bağımsız, o zaman herhangi bir değişken şekildedir bu ya bir $X$ $f(X)$

\begin{array}{lcl} P (X \in A \cap f^{- 1} (B)) & = & P (X \in A, f (X) \in B) \\ = & P (X \in A) P (f (X) \in B) \\ = & P (X \in A) P (X \in f^{- 1} (B)) \end{array}

$\begin{array}{lcl} P(X \in A \cap f^{-1}(B)) & = & P(X \in A, f(X) \in B) \\ & = & P(X \in A) P(f(X) \in B) \\ & = & P(X \in A) P(X \in f^{-1}(B)) \end{array}$

A = f^{- 1} (B)

$A = f^{-1}(B)$

P (f (X) \in B) = P (f (X) \in B)^{2},

$P(f(X) \in B) = P(f(X) \in B)^2,$

P (f (X) \in B) \in {0, 1}

$P(f(X) \in B) \in \{0, 1\}$

B

$B$

X

$X$

f (X)

$f(X)$

f (X)

$f(X)$

B

$B$

B

$B$ veya olasılık 1 ile . Daha fazla söylemek gerekirse, daha fazla varsayım gerekir, örneğin, tekli kümelerin ölçülebilir olduğu.

B^{c}

$B^c$

{b}

$\{b\}$

Bununla birlikte, ölçü teorik düzeyindeki ayrıntılar OP'nin ana endişesi gibi görünmemektedir. Eğer gerçek ve gerçek fonksiyondur (ve Borel kullanmak cebiri, diyelim ki), sonra alma şu anlaşılıyor ki dağıtımı için dağıtım fonksiyonu sadece değer 0 ve 1 alır, dolayısıyla orada o atlar hangi ile ve . $X$ $f$ $\sigma$ $B = (-\infty, b]$ $f(X)$ $b$ $0$ $1$ $P(f(X) = b) = 1$

Günün sonunda, OP sorusunun cevabı, ve in genel olarak bağımlı ve sadece çok özel koşullar altında bağımsız olmasıdır. Üstelik Dirac ölçüsü , her zaman bir koşullu dağılımı için nitelendirir verilen diyerek resmi bir şekilde hangi bilerek o zaman da tam olarak ne olur. Dejenere şartlı dağılım ile bu özel bağımlılık şekli, rasgele değişkenlerin işlevleri için karakteristiktir. $X$ $f(X)$ $\delta_{f(x)}$ $f(X)$ $X = x$ $X = x$ $f(X)$

— NRH
kaynak

(+1) Üzgünüm. Cevabımı oluştururken, siz de göndermiş olduğunuz bir güncelleme almadım. :)

— kardinal

Lemma : Let rastgele değişken ve izin böyle bir (Borel ölçülebilir) fonksiyonu ve bağımsızdır. O zaman hemen hemen sabittir. Kendisine, bir orada öyle ki . $X$ $f$ $X$ $f(X)$ $f(X)$ $a \in \mathbb R$ $\mathbb P(f(X) = a) = 1$

Kanıt aşağıdadır; ama önce bazı açıklamalar. Borel ölçülebilirliği, olasılıkları makul ve tutarlı bir şekilde atayabilmemizi sağlayan teknik bir koşuldur. "Neredeyse kesin" ifadesi de sadece bir tekniktir.

Lemmanın özü, ve bağımsız olmasını istiyorsak , tek adaylarımızın formunun işlevleri olmasıdır . $X$ $f(X)$ $f(x) = a$

Fonksiyonları durumunda ile kontrast öyle ki ve olan ilintisizdir . Bu çok çok daha zayıf bir durumdur. Gerçekten, ortalama sıfır, sonlu mutlak üçüncü moment olan ve sıfır civarında simetrik olan herhangi bir rastgele değişkeni düşünün . Sorudaki örnekte olduğu gibi alın . Sonra , bu nedenle ve ilişkisizdir. $f$ $X$ $f(X)$ $X$ $f(x) = x^2$ $\mathrm{Cov}(X,f(X)) = \mathbb E Xf(X) = \mathbb E X^3 = 0$ $X$ $f(X) = X^2$

Aşağıda, lemma için gelebileceğim en basit kanıtı veriyorum. Son derece ayrıntılı yaptım, böylece tüm detaylar olabildiğince açık. Eğer birisi onu iyileştirmenin ya da basitleştirmenin yollarını görürse, bilmek isterim.

İspat fikri : Sezgisel olarak, bilirsek biliyoruz . Demek ki bazı olay bulmalıyız , tarafından üretilen sigma cebir bilgimizi ilgilidir, ile verilene . Sonra biz assumed bağımsızlığı ile birlikte bu bilgileri kullanabilirsiniz ve için mevcut seçenekler olduğunu göstermek için ciddi kısıtlı edilmiştir. $X$ $f(X)$ $\sigma(X)$ $X$ $X$ $f(X)$ $X$ $f(X)$ $f$

Lemma kanıtı : ve yalnızca ve , . Let bir Borel ölçülebilir işlev için öyle ki ve birbirinden bağımsızdır. tanımlayın . Ardından, ve bir Borel seti olduğundan ve Borel ile ölçülebilir, ardından $X$ $Y$ $A \in \sigma(X)$ $B \in \sigma(Y)$ $\renewcommand{\Pr}{\mathbb P}\Pr(X \in A, Y \in B) = \Pr(X \in A) \Pr(Y \in B)$ $Y = f(X)$ $f$ $X$ $Y$ $\newcommand{\o}{\omega}A(y) = \{\o: f(X(\o)) \leq y\}$

A (y) = {ω : X (ω) \in f^{- 1} ((- \infty, y])}

$A(y) = \{\o: X(\o) \in f^{-1}((-\infty,y])\}$

(- \infty, y]

$(-\infty,y]$

f

$f$

f^{- 1} ((- \infty, y])

$f^{-1}((-\infty,y])$ aynı zamanda bir Borel setidir. Bu ima ile ( tanımı (!) Ve ).

A (y) \in σ (X)

$A(y) \in \sigma(X)$

σ (X)

$\sigma(X)$

Yana ve bağımsız olarak varsayılır ve vardır , daha sonra ve bu, tüm için geçerlidir . Ancak, Bu son iki birleştirerek, almak için her , yani veya . Bu, sabit olması gerektiği anlamına gelir $X$ $Y$ $A(y) \in \sigma(X)$

P (X \in A (y), Y \leq y) = P (X \in A (y)) P (Y \leq y) = P (f (X) \leq y) P (f (X) \leq y),

$\Pr(X \in A(y), Y \leq y) = \Pr(X \in A(y)) \Pr(Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \Pr(f(X) \leq y) \>,$

y \in R

$y \in \mathbb R$

A (y)

$A(y)$

P (X \in A (y), Y \leq y) = P (f (X) \leq y, Y \leq y) = P (f (X) \leq y) .

$\Pr(X \in A(y), Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y, Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \> .$

y \in R

$y \in \mathbb R$

P (f (X) \leq y) = P (f (X) \leq y) P (f (X) \leq y),

$\Pr(f(X) \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \Pr(f(X) \leq y) \>,$

P (f (X) \leq y) = 0

$\Pr(f(X) \leq y) = 0$

P (f (X) \leq y) = 1

$\Pr(f(X) \leq y) = 1$

a \in R

$a \in \mathbb R$ öyle ki un dağılım fonksiyonu sıfırdan bire atlar . Başka bir deyişle, hemen hemen kesin.

f (X)

$f(X)$

a

$a$

f (X) = a

$f(X) = a$

Not : Bunun tersinin de daha basit bir argüman tarafından doğru olduğunu unutmayın. Yani, neredeyse kesinse, ve bağımsızdır. $f(X) = a$ $X$ $f(X)$

— kardinal
kaynak

+1, üzgünüm - argümanınızı çalmak çok kibar değil. Bu bağlamda bağımsızlık ile ilişkisiz olmak arasındaki farkı açıklamanız harika.

— NRH

“Çalma” ya da küstahlık söz konusu değildir. :) Fikirlerin ve yorumların birçoğu benzer olsa da (böyle bir soru için beklediğiniz gibi!), İki gönderinin güzel tamamlayıcı olduğunu düşünüyorum. Özellikle, yazınızın başlangıcında kendinizi gerçek değerli rastgele değişkenlerle nasıl sınırlandırmamanızı seviyorum.

— kardinal

@NRH yanıtınızı kanıtınızın ilk kısmı olarak kabul etmek benim gibi bir acemi için daha kolay anlaşılabilir. Yine de cevabınız için +1 kardinal.

— Rohit Banga