Kuantillerin bir fonksiyonu olarak beklenen değer?

Sürekli bir rastgele değişkenin beklenen değerini aynı rv bir fonksiyonu olarak ilişkilendirmek için genel bir formülün nerede olduğunu merak ediyordum. Rv beklenen değeri $X$şu şekilde tanımlanır: ve nicelikler şu şekilde tanımlanır: için .
Q p X = { x : F X ( x ) = p } = F - 1 X ( p ) p ∈ ( 0 , 1 $E(X) = \int x dF_X(x)$$Q^p_X = \{x : F_X(x) = p \} =F_X^{-1}(p)$$p\in(0,1)$

Örneğin bir fonksiyon fonksiyonu var mı : E (X) = \ int_ {p \ inç (0,1)} G (Q ^ p_X) dpE ( X ) = ∫ p ∈ ( 0 , 1 ) G ( Q p X ) d $G$$E(X) = \int_{p\in(0,1)} G(Q^p_X) dp$

Kümülatif dağılım fonksiyonunun tersi (ayrık durumda sağ ters) , genellikle olarak gösterilen kantil fonksiyon olarak adlandırılır . Beklenti , kantil fonksiyon açısından (beklenti mevcut olduğunda ...) olarak verilebilir Sürekli durum için, bu integralde basit bir ikame ile gösterilebilir: Write ve sonra örtük farklılaşma yoluyla p = F ( x ) d p = f ( x )$F(x)$$Q(p)=F^{-1}(p)$$\mu$

$$\mu=\int_0^1 Q(p)\; dp$$ $$\mu = \int x f(x) \; dx$$ $p=F(x)$ : μ = ∫$dp = f(x) \; dx$ Heriki tarafa Q uygulayarak p = F ( x ) ' den x = Q ( p ) eldeettik. $$\mu = \int x \; dp = \int_0^1 Q(p) \; dp$$ $x=Q(p)$$p=F(x)$$Q$