İki gaussianın ağırlıklı karışımının varyansı nedir?

Ben anlamına ile iki normal dağılımlar A ve B var ki ve ve sapmalar ve . I ağırlıkları kullanılarak bu iki dağılımların ağırlıklı karışımını almak isteyen ve burada ve . Bu karışımın ortalamasının olacağını biliyorum $\mu_A$ $\mu_B$ $\sigma_A$ $\sigma_B$ $p$ $q$ $0\le p \le 1$ $q = 1-p$ $\mu_{AB} = (p\times\mu_A) + (q\times\mu_B)$ .

Varyans ne olabilir?

Erkek ve dişi boy dağılımı için parametreleri bilsem somut bir örnek olabilirdi. % 60 erkek olan bir odama sahip olsaydım, tüm oda için beklenen ortalama yüksekliği üretebilirdim, peki ya varyans?

normal-distribution mixture

— JoFrhwld
kaynak

Re terminoloji: Karışım sadece bir ortalama ve varyansa sahiptir; Bunları “beklenen” olarak nitelendirmenin bir anlamı yoktur,

rastgele değişkenler olarak düşünülmesi gerektiğini ima etmediğiniz sürece .

p

$p$

q

$q$

— whuber

İki gauss dağılımının karışımının tanımlanabilir olduğunu biliyorum. Ancak iki dağıtım aynı e-postalara sahipse? Yani :, iki normal dağılımın aynı araçla ve farklı standart sapmalarla karışımı tanımlanabilir mi? Bu bağlamda kağıtlar var mı? Şimdiden teşekkürler

Burada cevaplara benzer bir soru var ( KOVARYALAR

— hplieninger 17:16

Varyans, ikinci anın eksi ilk anın karesidir, bu nedenle karışım anlarının hesaplanması için yeterlidir.

Genel olarak, ve sabit (rastgele olmayan) ağırlıklar ile dağılımları göz önüne alındığında , karışımın PDF değeri $f_i$ $p_i$

f (x) = \underset{ben}{Σ} p_{ben} f_{ben} (x),

$f(x) = \sum_i{p_i f_i(x)},$

hangi herhangi bir an için hemen aşağıda o $k$

μ^{(k)} = E_{f} [x^{k}] = \underset{ben}{Σ} p_{ben} E_{f_{ben}} [x^{k}] = \underset{ben}{Σ} p_{ben} μ_{ben}^{(k)} .

$\mu^{(k)} = \mathbb{E}_{f}[x^k] = \sum_i{p_i \mathbb{E}_{f_i}[x^k]} = \sum_i{p_i \mu_i^{(k)}}.$

Yazdım için anından ve için anından $\mu^{(k)}$ $k^{th}$ $f$ $\mu_i^{(k)}$ $k^{th}$ $f_i$ .

Bu formülleri kullanarak, varyans yazılabilir

Var (f) = μ^{(2)} - {(μ^{(1)})}^{2} = \sum_{i} p_{i} μ_{i}^{(2)} - {(\sum_{i} p_{i} μ_{i}^{(1)})}^{2} .

$\text{Var}(f) = \mu^{(2)} - \left(\mu^{(1)}\right)^2 = \sum_i{p_i \mu_i^{(2)}} - \left(\sum_i{p_i \mu_i^{(1)}}\right)^2.$

Varyansları halinde Aynı şekilde, olarak verilmiştir , daha sonra karışımı varyans sağlayarak, açısından yazılacak bileşenlerinin varyansları ve araçları $f_i$ $\sigma^2_i$ $\mu^{(2)}_i = \sigma^2_i + \left(\mu^{(1)}_i\right)^2$ $f$

\begin{aligned} Var (f) & = \sum_{i} p_{i} (σ_{i}^{2} + {(μ_{i}^{(1)})}^{2}) - {(\sum_{i} p_{i} μ_{i}^{(1)})}^{2} \\ = \sum_{ben} p_{ben} σ_{ben}^{2} + \underset{ben}{Σ} p_{ben} {(μ_{ben}^{(1)})}^{2} - {(\underset{ben}{Σ} p_{ben} μ_{ben}^{(1)})}^{2} . \end{aligned}

$\eqalign{ \text{Var}(f) &= \sum_i{p_i \left(\sigma^2_i + \left(\mu^{(1)}_i\right)^2\right)} - \left(\sum_i{p_i \mu_i^{(1)}}\right)^2 \\ &= \sum_i{p_i \sigma^2_i} + \sum_i{p_i\left(\mu_i^{(1)}\right)^2} - \left(\sum_{i}{p_i \mu_i^{(1)}}\right)^2. }$

Bu, (ağırlıklı) ortalama varyansı artı ortalama kare eksi ortalama ortalamanın karesidir. Kare alma bir dışbükey işlev olduğu için, Jensen Eşitsizliği, ortalama kare ortalamasının, ortalama ortalamanın karesinden daha az olamayacağını ileri sürer. Bu, ifade eden formül anlamak sağlar karışımın varyans sapma karışımıdır artı aracının (ağırlıklı) dispersiyon için hesap, negatif olmayan bir terim.

Senin durumunda varyans

p_{bir} σ_{bir}^{2} + p_{B} σ_{B}^{2} + [p_{bir} μ_{bir}^{2} + p_{B} μ_{B}^{2} - (p_{bir} μ_{bir} + p_{B} μ_{B})^{2}] .

$p_A \sigma_A^2 + p_B \sigma_B^2 + \left[p_A\mu_A^2 + p_B\mu_B^2 - (p_A \mu_A + p_B \mu_B)^2\right].$

Bunun iki varyansın ağırlıklı bir karışımı olduğunu yorumlayabiliriz, $p_A\sigma_A^2 + p_B\sigma_B^2$ , genel karışım ortalamasına göre bireysel araçlardan kaymaları hesaba katan , artı (mutlaka pozitif) bir düzeltme teriminin yorumlayabiliriz.

Bu varyansın, soruda belirtildiği gibi verileri yorumlamadaki faydası şüphelidir, çünkü karışım dağılımı Normal olmayacaktır (ve esasen ondan ayrılabildiği ölçüde, iki yüzlülük sergileyecek kadar).

— whuber
kaynak

Özellikle,

olduğuna dikkat ederek, son ifadeniz

p_{A} + p_{B} = 1

$p_A+p_B=1$

σ^{2} = μ^{(2)} - μ^{2} = p_{A} σ_{A}^{2} + p_{B} σ_{B}^{2} + p_{A} p_{B} (μ_{A} - μ_{B})^{2}

$\sigma^2=\mu^{(2)}-\mu^2=p_A\sigma_A^2+p_B\sigma_B^2+p_Ap_B(\mu_A-\mu_B)^2$

— Ilmari Karonen

Biz bir olay (a karışımı yoğunluğu için bir olasılık açıklama empoze yapmak Ya da,

probabiity ait

ve koşullu yoğunluğu

verilen

edilir

koşullu varyans ortalama artı Koşullu varyans toplamıdır Ortalama, ikincisi ayrık bir RV.

A

$A$

p_{A}

$p_A$

X

$X$

A

$A$

isekoşulluyoğunluğu

verilen

olduğu

), daha sonra var

N (μ_{A}, σ_{A}^{2})

$N(\mu_A,\sigma_A^2)$

X

$X$

A^{c} = B

$A^c = B$

N (μ_{B}, σ_{B}^{2})

$N(\mu_B,\sigma_B^2)$

(X)

$(X)$

değerlerin ile

olasılıkları ile

ve köşeli parantezler içinde ifade kolaylıkla olduğu kabul edilmiştir

Y

$Y$

μ_{A}, μ_{B}

$\mu_A, \mu_B$

p

$p$

q

$q$

E [Y^{2}] - (E [Y])^{2}

$E[Y^2]-(E[Y])^2$

— Dilip Sarwate

@ Neodim Tanımı gereği, varyans eksi ortalama kare eksi ikinci andır. Bu nedenle, ikinci an varyans artı ortalama karedir.

— whuber

@ Neodim

kullanın

E (X) = μ

$E(X)=\mu$

— whuber

@Kiran Bazı durumlarda karışım Normal görünebilir , ancak olmayacak. Bunu görmenin bir yolu, burada verilen formülleri kullanarak aşırı kurtozunu hesaplamaktır. Tüm standart sapmalar eşit olmadıkça sıfır olmayacaktır - bu durumda "karışım" ilk etapta gerçekten bir karışım değildir.

— whuber